1、第4讲 导数的综合应用考点一考点二考点三考点一 利用导数研究函数的零点考点一 利用导数研究函数的零点“形”定个数，“离”参转化三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点x1，x2且x10(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)0两个f(x1)0或f(x2)0三个f(x1)0且f(x2)0a0或f(x2)0两个f(x1)0或f(x2)0三个f(x1)0归纳总结利用导数研究函数零点问题的思路(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，
2、利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数对点训练2022全国乙卷(理)已知函数f(x)ln(1x)axex.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在区间(1，0)，(0，)各恰有一个零点，求a的取值范围考点二 利用导数证明不等式例 2 2023湖北二模已知函数f(x)xex1，g(x)a(ln xx)(1)若不等式f(x)g(x
3、)恒成立，求正实数a的值；(2)证明：x2ex(x2)ln x2sin x归纳总结用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.考点三 利用导数解决不等式恒(能)成立问题af(x)minf(x)g(x)max0值域小于对x1D1，x2D2，使得f(x1)g(x2)成立，等价于
4、f(x)maxg(x2)成立，等价于f(x)maxg(x)min.其等价转化思想是：函数f(x)的某一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值，即只要有这样的函数值即可，并不要求_函数值所有所有的2不等式能成立问题的解题关键高考5个大题 解题研诀窍(六)函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”思维流程找突破口技法指导迁移搭桥函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函
5、数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题典例已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)ae时，证明：xf(x)ex2ex0.快审题求什么想什么讨论函数的单调性，想到利用导数判断证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化给什么用什么已知函数的解析式，利用导数解题差什么找什么证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值题后悟道函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f(x)0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围
