1、2015-2016学年山西省运城市康杰中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：y=x2是奇函数则下列命题中为真命题的是（）A（p）qBpqC（p）（q）D（p）（q）2双曲线x2y2=1的离心率是（）A2BCD3抛物线y=x2的准线方程是（）A4y+1=0B4x+1=0C2y+1=0D2x+1=04在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|PF2|=8，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支
2、5在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），点B是圆（x+1）2+y2=4上的动点，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）ABC（x3）2+（y3）2=1D（x3）2+（y3）2=26已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A3BCD7已知实数x，y满足x2+y24x+2=0，则x2+（y2）2的最小值是（）ABC2D88已知p：m（2，1），q：m满足表示椭圆，那么p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件9已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（）ABCD
3、10在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（）A1条B2条C3条D4条11若点O和点F（2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）ABCD12已知F1、F2分别是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（，2）D（2，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知命题p：xR，sinx1，则p为14过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两
4、点，则线段AB的长为15过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C： +=1（ab0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于16已知抛物线C：y2=8x与点M（2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知直线l0：xy+2=0和圆C：x2+y2+4x4y+4=0（）若直线l0交圆C于A，B两点，求|AB|；（）求过点P（4，5）的圆的切线方程18设p：实数x满足x2x20，q：实数x满足，r：实数x满足x（a+1）x+（2a1）0，其中a0（1）如果pq为真，求
5、实数x的取值范围；（2）如果p是r的充分不必要条件，求实数a的取值范围19在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W（1）求W的方程；（2）设过点B的直线l与曲线W交于M，N两点，如果，求直线l的方程20已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，如果椭圆C上的动点到点F1的距离的最大值是，短轴一个端点到点F2的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F2且斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点，求ABF1的面积21已知双曲线的焦距为4，离心率为（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（k0，m0）与双曲线C交于不
6、同的两点C，D，如果C，D能都在以点A（0，1）为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为（1）求抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是否过定点？并说明理由2015-2016学年山西省运城市康杰中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：y=x2是奇函
7、数则下列命题中为真命题的是（）A（p）qBpqC（p）（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可【解答】解：命题p：所有有理数都是实数，p是真命题；命题q：y=x2是偶函数，q是假命题，则pq是假命题，pq是假命题，pq是假命题，pq是真命题，故选：D2双曲线x2y2=1的离心率是（）A2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a=b=1，可得c=，再由离心率e=，计算即可得到所求【解答】解：双曲线x2y2=1的a=1，b=1，c=，可得e=故选：B3抛物线y=x2的准线方程是（）A4y+1=0B4x+1=0C2y+1=0D
8、2x+1=0【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0故选A4在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|PF2|=8，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支【考点】双曲线的定义【分析】利用双曲线的定义即可得出【解答】解：由于两点间的距离|F1F2|=10，动点P满足|PF1|PF2|=810，所以满足条件|PF1|PF2|=8的点P的轨迹是双曲线中离F2较近的一支故选：D5在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）
9、，点B是圆（x+1）2+y2=4上的动点，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）ABC（x3）2+（y3）2=1D（x3）2+（y3）2=2【考点】轨迹方程【分析】设出M（x，y），B（x1，y1）的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，代入已知圆的方程得答案【解答】解：设M（x，y），B（x1，y1），又A（4，3），且M为AB的中点，则，点B在圆（x+1）2+y2=4上，即（2x3）2+（2y3）2=4线段AB的中点M的轨迹方程是故选：A6已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A3BCD【考点】抛物线的简单性质
10、【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PM|MF|，再求出|MF|的值即可【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|MF|=即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B7已知实数x，y满足x2+y24x+2=0，则x2+（y2）2的最小值是（）ABC2D8【考点】圆的一般方程【分析】x2+（y2）2表示圆x2+y24x+2=0上动点（x，y）到点（0，2）点的距离的平方，进而得到答案【解
11、答】解：x2+y24x+2=0表示一个以（2，0）点为圆心，以为半径的圆，x2+（y2）2表示圆上动点（x，y）到点（0，2）点的距离的平方，故x2+（y2）2的最小值是2=2，故选：C8已知p：m（2，1），q：m满足表示椭圆，那么p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由已知列关于m的不等式组，求解m的范围，结合必要条件、充分条件及充要条件的判断方法得答案【解答】解：由表示椭圆，得，解得2m1且mp是q的必要不充分条件故选：B9已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（）ABC
12、D【考点】椭圆的简单性质【分析】作图辅助，设正方形ABCD的边长为2x，从而可得2c=|AB|=2x，2a=|AC|+|BC|=2x+2x，从而解得【解答】解：设正方形ABCD的边长为2x，则由题意知，2c=|AB|=2x，故c=x，2a=|AC|+|BC|=2x+2x，故a=（+1）x，故e=1；故选：A10在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（）A1条B2条C3条D4条【考点】圆的一般方程【分析】根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案【解答】解：圆的圆心坐标为（1，2），半径为3，圆的圆心坐标为（1，1），半径为2，则圆心距为： =（32，3+2），故两圆相交，故
13、两圆的公切线的条数是2条，故选：B11若点O和点F（2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得【解答】解：因为F（2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所
14、以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B12已知F1、F2分别是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（，2）D（2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc），与y=x联立，可得交点M（，）
15、，点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有c2，b23a2，c2a23a2，即c2a则e=2双曲线离心率的取值范围是（2，+）故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知命题p：xR，sinx1，则p为xR，sinx1【考点】命题的否定【分析】根据命题p：xR，sinx1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“改为“”可得答案【解答】解：命题p：xR，sinx1是全称命题p：xR，sinx1故答案为：xR，sinx114过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的长为8【考点】抛物线的简单性质【分析
16、】根据抛物线解析式确定出焦点F坐标，根据直线AB倾斜角表示出直线AB方程，与抛物线解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，设方程的两根为x1，x2，即A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数关系及两点间的距离公式求出AB长即可【解答】解：由题意得：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），直线AB倾斜角为45，直线AB的斜率为1，即方程为y=x1，联立得：，消去y得：（x1）2=4x，即x26x+1=0，设方程的两根为x1，x2，即A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，则|AB|=8，故答案为：815过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C： +=1（ab0
17、）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为，即可求出椭圆C的离心率【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，M是线段AB的中点，=1， =1，直线AB的方程是y=（x1）+1，y1y2=（x1x2），过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C： +=1（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：16已知抛物线C：y2=8x与点M（2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=2【考点】抛物线的简单性质【分析】斜率k存在，
18、设直线AB为y=k（x2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出k的值【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x2），代入抛物线方程，得到k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，设A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=k=2故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知直线l0：xy+2=0和圆C：x2+y2+4x4y+4=0（）若直线l0
19、交圆C于A，B两点，求|AB|；（）求过点P（4，5）的圆的切线方程【考点】圆的切线方程；两点间的距离公式【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，利用点到直线的距离公式算出点C到直线l0的距离d，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长度（2）当直线的斜率k存在时，设方程为y5=k（x+4），根据直线与圆C相切，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，解出k=而直线斜率不存在时，方程为x=4，也是圆的一条切线，由此即可得到过点P的圆的两条切线方程【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x4y+4=0，圆C化成标准方程，得（x+2）2+（y2）2=4，可得圆心为C（2，2），半径r=2圆心到直线l0：x
20、y+2=0的距离由垂径定理，得（2）当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，该直线是圆的一条切线，符合题意；当直线的斜率k存在时，由直线经过点（4，5）设直线方程为y5=k（x+4），化简得kxy+4k+5=0直线与圆相切，圆心C到直线的距离为d=r，即，解之得此时切线方程为y5=（x+4），化简得5x+12y40=0综上所述，所求切线有两条：x=4与5x+12y40=018设p：实数x满足x2x20，q：实数x满足，r：实数x满足x（a+1）x+（2a1）0，其中a0（1）如果pq为真，求实数x的取值范围；（2）如果p是r的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件
21、的判断；复合命题的真假【分析】（1）利用分式不等式与一元二次不等式的解法化简命题p，q，可得解集A，B，由于pq为真，求出AB即可（2）利用一元二次不等式的解法可得：解集C=2a+1，a+1由于p是r的充分不必要条件，可得应有AC，即可得出【解答】解：（1）p：实数x满足x2x20，解得1x2可得解集A=1，2，q：实数x满足，化为x（x3）0，解得0x3，可得解集B=（0，3）AB=（0，2pq为真，实数x的取值范围是（0，2（2）由r：实数x满足x（a+1）x+（2a1）0，其中a0，可得解集C=2a+1，a+1p是r的充分不必要条件，应有AC，可得，或，解得a1，故实数a的取值范围是a|
22、a119在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W（1）求W的方程；（2）设过点B的直线l与曲线W交于M，N两点，如果，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设点C的坐标是C（x，y），结合，从而可得轨迹是椭圆（除去与x轴的两个交点），从而求方程即可；（2）易知直线l的斜率不为0，从而设直线l的方程为x=my+1，与联立化简得（m2+2）y2+2my1=0，结合韦达定理求解即可【解答】解：（1）设点C的坐标是C（x，y），ABC的周长为，|AB|=2，由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆
23、（除去与x轴的两个交点）c=1，b2=a2c2=1，曲线W的方程为（2）易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，与联立化简得，（m2+2）y2+2my1=0，由韦达定理得：，=，解得m=1，直线l的方程为x=y+1，即x+y1=0或xy1=020已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，如果椭圆C上的动点到点F1的距离的最大值是，短轴一个端点到点F2的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F2且斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点，求ABF1的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，从而可得，b=1，；（2）设直线l的方程为，联立方程化简，结合韦达定理求解【解
24、答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，故，b=1，椭圆C的方程为（2）设直线l的方程为，联立方程，化简得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得故ABF1的面积S=|F1F2|y1y2|=2=21已知双曲线的焦距为4，离心率为（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（k0，m0）与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D能都在以点A（0，1）为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）设双曲线C的焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程；（2）将直线l的方程代入双曲线的方程，可得x的二次方程
25、，运用韦达定理和判别式大于0，由中点坐标公式可得CD的中点M的坐标，由题意可得直线l与直线AM垂直，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得k，m的关系式，代入判别式大于0的式子，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）设双曲线C的焦距为2c，由题意得2c=4，所以c=2，b=1，所以双曲线C的标准方程为（2）联立，得（3k21）x2+6kmx+3（m2+1）=0，首先应有，即（），设点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD的线段为M（x0，y0），由韦达定理得，所以，所以点，可得直线AM的斜率为，由题意应有直线l与直线AM垂直，所以kAMk=1，即，化简得3k2=4m+1，因为3k2
26、0，所以4m+10，解得将3k2=4m+1代入（）式得，解得m0或m4故m的取值范围是22在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为（1）求抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是否过定点？并说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用得到
27、t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点【解答】解：（1），圆心Q在线段OF的垂直平分线上，又准线方程为：，得p=2，抛物线C：y2=4x；（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y24my4t=0，则=16m2+16t0 设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4t=x1x24（x1+x2）+16+y1y24（y1+y2）+16=t216m212t+3216m=0，即t212t+32=16m2+16m，得：（t6）2=4（2m+1）2，t6=2（2m+1），即：t=4m+8或t=4m+4，代入式检验均满足0，直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y4）+4直线过定点（8，4），（定点（4，4）不满足题意，故舍去）2016年5月11日
