1、基础题组练1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为()A.6 km B.2 kmC.3 km D2 km解析：选 A.如图，在ABC 中，由已知可得ACB45，所以ACsin 602sin 45，所以 AC2 2 32 6(km)2如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高AB 等于()A5 6B15 3C5 2D15 6解析：选 D.在BCD 中，CBD1801530135.由正弦定理得BCsi
2、n 3030sin 135，所以 BC15 2.在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6.3如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B 与D 互补，则 AC 的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：选 A.在ABC 及ACD 中，由余弦定理得 8252285cos(D)AC23252235cos D，解得 cos D12，所以 AC 497.4一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达 B 处，在
3、 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里解析：选 A.如图所示，易知，在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45，解得 BC10 2(海里)5如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)m D30(31)m解析：选 C.因为 tan 15tan(604
4、5)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，所以 BC60tan 6060tan 15120(31)(m)6海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，那么 B 岛和 C 岛间的距离是n mile.解析：如图，在ABC 中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得 ABsin C BCsin A，所以 BCABsin Asin C 10sin 60sin 455 6(n mile)答案：5 67.如图，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45，在塔底 D 的南偏东
5、 60的 B处测得塔顶的仰角为 30，A，B 间的距离是 84 m，则塔高 CDm.解析：设塔高 CDx m，则 ADx m，DB 3x m.又由题意得ADB9060150，在ABD 中，利用余弦定理，得 842x2(3x)22 3x2 cos 150，解得 x12 7(负值舍去)，故塔高为 12 7 m.答案：12 78一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75，距灯塔 68 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则此船航行的速度为海里/小时解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN 中，MNsin 120PMsin 45，所以
6、 MN68322234 6(海里)又由 M 到 N 所用的时间为 14104(小时)，所以此船的航行速度 v34 6417 62(海里/小时)答案：17 629渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以 15 3海里/时的速度向正北方向航行，该船在 A 点处时发现在北偏东 30方向的海面上有一个小岛，继续航行 20 分钟到达 B 点，此时发现该小岛在北偏东 60方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过 C 作 CDAD 于点 D，由题意得：AB206015 35 3(海里)，因为A30，CBD60，所以BCA30，所以ABC 为等腰三角
7、形，所以 BC5 3.在BCD 中，因为CBD60，CDAD，BC5 3，所以 CD152，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为 7.5 海里10如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75，从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，求山高 MN.解：根据题意，AC100 2 m.在MAC 中，CMA180756045.由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m.在AMN 中，MNAMsin 60，所以 MN100 3 32 150(m)综合题组练1如图所示，一座
8、建筑物 AB 的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD.在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为()A30 m B60 mC30 3 m D40 3 m解析：选 B.在 RtABM 中，AMABsinAMB3010 3sin 15 3010 36 2420 6(m)过点A 作 ANCD 于点 N，如图所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC 中，由正弦定理得MCsin 45 20
9、 6sin 30，解得 MC40 3(m)在 RtCMD 中，CD40 3sin 6060(m)，故通信塔 CD 的高为 60 m.2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为米解析：连接 OC，由题意知 CD150 米，OD100 米，CDO60.在COD 中，由余弦定理得 OC2CD2OD22CDODcos 60，即 OC50 7.答案：50 73.如图，在四边形
10、 ABCD 中，DAB3，ADAB23，BD 7，ABBC.(1)求 sinABD 的值；(2)若BCD23，求 CD 的长解：(1)因为 ADAB23，所以可设 AD2k，AB3k(k0)又 BD 7，DAB3，所以由余弦定理，得(7)2(3k)2(2k)223k2kcos3，解得 k1，所以 AD2，AB3，sinABDADsinDABBD2 327 217.(2)因为 ABBC，所以 cosDBCsinABD 217，所以 sinDBC2 77，所以BDsinBCDCDsinDBC，所以 CD72 77324 33.4(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B 分别是海岸线 l1，
11、l2 上的三个集镇，A 位于 O 的正南方向 6 km 处，B 位于 O 的北偏东 60方向 10 km 处(1)求集镇 A，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇 O 的交通压力，拟在海岸线 l1，l2 上分别修建码头 M，N，开辟水上航线勘测时发现：以 O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头 M，N 的位置，使得 M，N 之间的直线航线最短解：(1)在ABO 中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得 AB2OA2OB22OAOBcos 120 62102261012 196，所以 AB14.故集镇 A，B 间的距离为 14 km.(2)依题意得，直线 MN 必与圆 O 相切 设切点为 C，连接 OC(图略)，则 OCMN.设 OMx，ONy，MNc，在OMN 中，由12MNOC12OMONsin 120，得123c12xysin 120，即 xy2 3c，由余弦定理，得 c2x2y22xycos 120 x2y2xy3xy，所以 c26 3c，解得c6 3，当且仅当 xy6 时，c 取得最小值 6 3.所以码头 M，N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时，M，N 之间的直线航线最短，最短距离为 6 3 km.
