1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 十七导数与函数零点(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=x3+x2+x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)20,所以f(x)在R上单调递增,因为f(0)=10,f(-3)=-20,a-160,当a=16时,f(x)的图象与x轴有2个交点;当a16时,f(x)的图象与x轴只有1个交点.所以f(x)的零点个数为1或2.方法二:f(x)=x3-12x+a的零点个数方程x3
2、-12x=-a的解的个数g(x)=x3-12x与h(x)=-a的交点个数.画出g(x)=x3-12x与h(x)=-a的图象.由g(x)=3x2-12=0,得x=2,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)g(x)+0-0+g(x)16-16所以g(x)的图象如图所示:因为a16,所以y=-a-16.由图可知直线y=-a与y=x3-12x的图象有1个或2个交点.3.若函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.当x0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x) =x(3x-2)
3、,当0x,g(x)时,g(x)0,g(x)min=g= -.当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为.4.(2020深圳模拟)已知函数f(x)=+ln x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值范围为()A.(-,01B.0,1 C.(-,02D.0,2【解析】选A.因为函数f(x)=+ln x-1,所以f(x)=-+=,x0,当a0时,f(x)=0恒成立,f(x)是增函数,x+时,f(x)+,f(1)=a-10时,令f(x)0,解得:xa,令f(x)0,解得:xa,故f(x)在(0,a)递减
4、,在(a,+)递增,故只需f(x)min=f(a)=ln a=0,解得:a=1,综上:实数a的取值范围为(-,01.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是_.【解析】令f(x)=x3-3x,要使x3-3x=k有三个不等的实根,则f(x)=x3-3x与y=k有3个交点.又f(x)=3x2-3,由f(x)=0得x=1.故f(x)在(-,-1和1,+)上递增,在(-1,1)上递减,所以x=-1时,f(x)取极大值2;x=1时f(x)取极小值-2.根据单调性情况画出y=x3-3x的大致图象(图略),可得-2k0,h(x)单调递增;当x(-3,2)
5、时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(2)=-,数形结合可得a的取值范围是.答案:7.已知函数f(x)=x3+mx+,g(x)=-ln x.mina,b表示a,b中的最小值,若函数h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,则实数m的取值范围是_.世纪金榜导学号【解析】f(x)=3x2+m,因为g(1)=0,所以要使h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,需满足f(1)0,f0,m-,-m0,所以m=-1,要使方程ln x-x-mx=0在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=-1有唯一实数解,令g(x)=-1,(x0),所以g(x)=,由g(x)0,得
6、0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.g(1)=-1,g(e)= -1,g(e2)=-1,故-1m0且c-2.【解析】(1)因为f(x)=x-(a-1)ex.所以xa-1时,f(x)0,函数f(x)在(a-1,+)上单调递增,当 xa-1时,f(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增,又h(1)=e-30,所以存在x0(1,2),使h(x)=0,故当x(0,x0)时,g(x)0,所以函数g(x)存在唯一最小值x0,满足=x0+2,所以g(x0)=x0+=x0+1(2,3),因为a=g(x)=x+有解,所以ag(x0)2,所以a2.10.(20
7、20揭阳模拟)已知函数f(x)=x-aln x-1.世纪金榜导学号(1)若函数f(x)的极小值为0,求a的值.(2)t0且a1,求证:f(et)t2.【解析】(1)因为f(x)=x-aln x-1,x(0,+),所以f(x)=, 当a0时,f(x)0,函数f(x)在定义域上递增,不满足条件;当a0时,函数f(x)在(0,a)上递减,在(a,+)上递增,故f(x)在x=a处取得极小值0,所以f(a)=a-aln a-1=0,令p(a)=a-aln a-1, p(a)=-ln a,所以p(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,故p(a)p(1)=0,所以f(a)=0的解为a=1,故a
8、=1.(2)方法一:由f(et)t2et-at-1t2et-1t2+at,因为a1,所以只需证当t0时,et-1t2+t恒成立.令g(t)=et-t2-t-1,g(t)=et-t-1,由(1)可知x-ln x-10,令x=et得et-t-10,所以g(t)在(0,+)上递增,故g(t)g(0)=0,所以命题得证.方法二:f(et)t2et-at-1t2et-t2-at-10,设g(t)=et-t2-at-1(t0),则g(t)=et-at-a,则g(t)=et-a,又ete0=1,a1,得g(t)0,所以g(t) 单调递增,得g(t)g(0)=1-a0,所以g(t)单调递增,得g(t)g(0)=0,得证.关闭Word文档返回原板块
