1、第三节求数列的前n项和 选题明细表知识点、方法题号公式法、分组法求和1,3,4,5,6,7,8,10,13裂项相消法求和12,14,15错位相减法求和2,11含绝对值数列求和9一、选择题1.数列1+2n-1的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意令an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.2.Sn=+等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由Sn=+,得Sn=+,-得,Sn=+-=-,所以Sn=.3.数列an的通项an=sin ,前n项和为Sn,则S2 015等于(B)(A)(B)0(C)1(D)-解析:由an=sin 知数
2、列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则S2 015=(a1+a2+a6)+(a2 005+a2 010)+a2 011+a2 015=a1+a2+a5=0.故选B.4.已知数列an满足:当p+q=11(p,qN*,p0,S180,且S180,S18=9(a9+a10)0,所以a9+a100,所以a100,0,0,0,0,0,又因为S1S2a2a9,则最大,故选C.二、填空题9.已知数列an的通项公式an=n+,则|a1-a2|+|a2-a3|+|a9-a10|=,|a10-a11|+|a11-a12|+|a99-a1 00|=.解析:由an=n+可知,当1n10时,数列an单调递
3、减,当n10时,数列an单调递增.所以|a1-a2|+|a2-a3|+|a9-a10|=(a1-a2)+(a2-a3)+(a9-a10)=a1-a10=101-20=81.|a10-a11|+|a11-a12|+|a99-a100|=(a11-a10)+(a12-a11)+(a100-a99)=a100-a10=81.答案:818110.数列(-1)n(2n-1)的前2 020项和为;数列()的前n项和为.解析:S2 020=(-1+3)+(-5+7)+(-22 019+1+22 020-1)=21 010=2 020.=n+,所以前n项和Sn=(1+)+(2+)+(3+)+(n+)=(1+2
4、+3+n)+ (+)=+=-+1.答案:2 020-+111.已知数列an,且an=(2n+1)3n-1,则其前n项和 Sn=.解析:Sn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Sn=33+532+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得-2Sn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+2-(2n+1)3n=-2n3n,所以Sn=n3n.答案:n3n12.已知数列an满足an=,则数列()的前n项和为.解析:an=,则=4(-)所以Sn=4(-)+(-)+(-)=4(-)=.答案:13.(创新题)对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,an的
5、“差数列”的通项为2n,则数列an的前n项和Sn=.解析:因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以Sn=2n+1-2.答案:2n+1-2三、解答题14.已知等比数列an满足a1=3,数列()的前n项和为 1-.(1)求b1的值;(2)若b2=b1+2,求数列bn的通项公式;记数列()的前n项和为Sn,求证:Sn.(1)解:因为=1-=,所以b1=1.(2)解:因为b2=b1+2,所以b2=3,因为+=1-=,所以a2=9.因为a1=3且an为等比数列,所以an=3n.因为=(1-)-(1-)=,其中n2,所以bn=2n-1(n2).因为b1=1,所以bn=2n-1.证明:因为=(-),所以Sn=(1-+-+-+-)=(1-)0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.(2)解:由(1),有Sn=2n-1,故Tn=(2k-1)=2k-n=-n=2n+1-n-2.证明:因为=-,所以=(-)+(-)+(-)=-2.
