1、高频考点集中练概 率 统 计1.(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4 C.0.6D.0.7【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(AB),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AB)=0.15,又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=
2、0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(AB)=P(B)-P(AB)=0.55-0.15=0.4.【真题拾贝】解决此类问题:判断事件的基本关系利用概率的计算公式计算;若事件为互斥事件的和,则由公式P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)计算可得;若事件为独立事件的积,则由公式P(AB)=P(A)P(B)计算可得.2.(2019全国卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差【命题思维分析】可不
3、用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案.【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分,不影响中间的数值,故中位数不变.【真题拾贝】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.理解概念即可.3.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,PP,则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【解析】选B.由题意可知XB(10,p),故DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,当p=0.6时,P(X=4)=0.640.46=22,P(X=6)=
4、0.660.44=32,满足P(X=4)P(X=6),所以p=0.6;同理可验证p=0.4时不满足P(X=4)P(X=6).【快解】选B.由题意可知XB(10,p),故DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,由P(X=4)P(X=6),即p4(1-p)6.【真题拾贝】判断二项分布的关键点:判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:一是是否为n次独立重复试验.每次试验都只有两种结果,且在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.且P(X=k)=表示在独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率.4.(2019全国卷)11分制
5、乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成1010平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2).(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.【命题思维分析】(1)本题首先可以通过题意推导出P(X=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”,然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果;(2)本题首先可以通过题意推导出P(X=4)所包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,然后计算出每
6、种事件的概率并求和即可得出结果.【解析】(1)X=2就是1010平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.【真题拾贝】本题考查古典概型的相关性质,能否通过题意得出P(X=2)以及P(X=4)所包含的事件是解决本题的关键,考查推理能力,考查学生从题目中获取所需信息的能力,是中档题.5.
7、(2019全国卷)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.世纪金榜导学号(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予
8、4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【命题思维分析】(1)首先确定X所有可能的取值,再计算出每个取值对应的概率,从而可得分布列;(2)求解出a,b,c的取值,可得pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i =1,2,7),从而整理出符合等比数列定义的形式,问题得证;列出证
9、得的等比数列的通项公式,采用累加的方式,结合p8和p0的值可求得p1;再次利用累加法可求出p4.【解析】(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-),所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.由可得p8=
10、p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=p1.由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.【真题拾贝】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强,要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识,对学生分析和解决
11、问题的能力要求较高.6.(2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：世纪金榜导学号(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种
12、生产方式的效率有差异？【命题思维分析】(1)计算两种生产方式的平均时间即可；(2)计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表；(3)由公式计算出2，再与6.635比较可得结果.【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：方法一：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高.方法二：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二
13、种生产方式的效率更高.方法三：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min，因此第二种生产方式的效率更高.方法四：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m=80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于2=106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
