1、第4讲 基本不等式基础题组练1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C.对于选项A，当x0时，x2x0，所以lglg x；对于选项B，当sin x0时显然不成立；对于选项C，x21|x|212|x|，一定成立；对于选项D，因为x211，所以01.故选C.2(2020广西钦州期末)已知a，bR，a2b215ab，则ab的最大值是()A15 B12 C5 D3解析：选C.因为a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，当且仅当ab时等号成立所以ab的最大值为5.故选C.3已知f(x)，则f(x)在上的最小值为
2、()A. B C1 D0解析：选D.f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号又1，所以f(x)在上的最小值是0.4若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4解析：选C.因为，所以a0，b0，由22，所以ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.5(2020湖南衡阳期末)已知P是面积为1的ABC内的一点(不含边界)，若PAB，PAC和PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是()A. BC. D3解析：选D.因为xyz1，0x1，0y1，0z0，b0，3ab2ab，则ab的最小值为_解析：由a0，b0，3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，当且仅当ba时
3、等号成立，则ab的最小值为2.答案：27(2020江西吉安期末)已知函数f(x)，则f(x) 的最大值为_解析：设tsin x2，则t1，3，则sin2x(t2)2，则g(t)t4(1t3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在1，2)上为减函数，在(2，3上为增函数，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值为1.答案：18已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又恒成立，因此有2，即的最小值为2.答案：29(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求
4、函数y的最大值解：(1)y(2x3).当x0，所以24，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2)因为0x0，所以y，当且仅当x2x，即x1时取等号，所以当x1时，函数y的最大值为.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.综合题组练1已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18
5、 D24解析：选B.由，得m(a3b)6.又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，所以m12，所以m的最大值为12.2(2020湖北恩施2月教学质量检测)已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且2，则b的最小值为()A1 B C. D2解析：选C.由已知得，a0，b0，tan a，tan ，因为2，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，当且仅当，即b时，取等号故b的最小值为.3(2020安徽合肥第二次教学质量检测)若ab0，则a2b2的最小值为_解析：a2b22，当且仅当ab2时，a2b2取得最小值.答案
6、：4当xR时，32x(k1)3x20恒成立，则k的取值范围是_解析：由32x(k1)3x20，解得k10恒成立，所以当xR时，k1，即k12，即k0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.6某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，
7、该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，所以13kk2，所以x3(m0)，每件产品的销售价格为1.5(元)，所以2020年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为m0时，(m1)28，所以y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元
