1、3.1.3 函数的奇偶性第1课时 函数的奇偶性1.函数的奇偶性前提函数f(x)定义域D内的任意一个x，都有-xD，条件且f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)结论则称y=f(x)为偶函数则称y=f(x)为奇函数【思考】函数的奇偶性定义中，“对于定义域D内任意一个x，都有-xD”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.2.奇偶函数的图像特征(1)函数是偶函数图像关于y轴对称；(2)函数是奇函数图像关于原点对称.【思考】(1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？提示：图像过原点，即f(0)=0.(2)有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？提示：有.如f
2、(x)=0的图像为x轴，即关于y轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)奇函数的图像一定过原点.()(2)如果定义域内存在x0，满足f(-x0)=f(x0)，函数f(x)是偶函数.()(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)+f(-x)=0，则函数f(x)是奇函数.()提示：(1).不一定，如函数f(x)=.(2).不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立.(3).若f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x).2.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()【解析】选B.B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项
3、都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数，且f(2)=3，则f(-2)=_.【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-2)=-f(2)=-3.答案：-3类型一 函数奇偶性的判断【典例】1.函数f(x)=-2x的图像关于()A.y轴对称B.坐标原点对称C.直线y=-x对称D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性：世纪金榜导学号(1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|.(2)f(x)=【思维引】1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性.2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选B.函数的定义域A=x|x0，所以xA时，-xA，且f(-x)=-+2x=-=-f(x)，所以f(x)为奇
4、函数，故图像关于坐标原点对称.2.(1)因为xR，f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)方法一：作出函数图像如图：关于原点对称，所以函数是奇函数.方法二：当x0时，f(x)=1-x2，此时-x0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)；当x0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(-0)=-f(0)=0.综上，对xR，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为R上的奇函数.【内化悟】函数具有奇偶性的前提是什么？提示：定义域关于原点对称.【类题
5、通】判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图像法：【发散拓】如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的定义域，那么f(x)g(x)、f(x)g(x)、(g(x)0)有以下规律：偶偶=偶、奇奇=奇、偶偶=偶、偶奇=奇、奇奇=偶，相除时类似于相乘的情况.【延伸练】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.当xR时，-xR，A中，设g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)，为偶函数；B中，设g(x)=f(
6、x)|f(-x)|，则g(-x)=f(-x)|f(x)|非奇非偶函数；C中，设g(x)=f(x)-f(-x)，则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)，为奇函数；D中，设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数.【习练破】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=x3+x.(3)f(x)=【解析】(1)f(x)=的定义域是A=(-，1)(1，+)，-1A，但1A，所以f(x)为非奇非偶函数.(2)f(x)=x3+x的定义域是R，当xR时，-xR，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)函数的定
7、义域为R，当xR时，-xR，当x0时，-x0，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)；当x=0时，f(-x)=f(x)=1；当x0，f(-x)=-x+1=f(x).综上，对任意xR，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.【加练固】函数f(x)=-x2的图像关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选A.f(x)的定义域为x|x0，又f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x).所以f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称.类型二 奇偶函数图像的应用【典例】1.如图，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于()A.-4B.-2C.2
8、D.42.设偶函数f(x)的定义域为-5，5，且f(3)=0，当x0，5时，f(x)的图像如图所示，则不等式xf(x)0的解集是_.世纪金榜导学号【思维引】1.奇函数关于原点对称，点(-1，f(-1)的对称点为(1，-f(-1).2.利用偶函数的图像性质作出x-5，0上的图像，分两种情况讨论求不等式的解集.【解析】1.选B.由函数的图像可得f(-1)=2，又由函数为奇函数，则f(1)=-f(-1)=-2.2.因为f(x)为偶函数，且由图像可得在0，3)上，f(x)0，则在-5，-3)上，f(x)0，在(-3，0上，f(x)0，xf(x)0所以-5x-3或0 x1时，f(x)=-1，则f(-2)
9、=()【解析】选B.根据题意，当x1时，f(x)=-1，则f(2)=-1=，又由函数f(x)为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-.2.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3x1)是偶函数，则a=_，b=_.【解析】因为f(x)是偶函数，所以其定义域关于y轴对称.所以-2a-3=-1.所以a=-1.所以f(x)=-x2+bx+c.因为f(-x)=f(x)，所以-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.所以-b=b，所以b=0.答案：-10【加练固】若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，即ax2+bx+c=ax2-bx+c，所以b=0，所以g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx，所以g(-x)=-(ax3+cx)=-g(x)，所以g(x)是奇函数.
