1、4.5增长速度的比较1.用平均变化率比较函数值变化的快慢(1)定义:函数y=f(x)在区间x1,x2(x1x2时)或x2,x1(x2x1时)上的平均变化率为(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)理解:自变量每增加1个单位,函数值将增加_个单位.(4)应用:比较函数值变化的快慢.【思考】对于函数f(x)=x+1,g(x)=4x-3,当x足够大时,对于xR,f(x0+x),g(x0+x)的大小关系能确定吗?提示:当x足够大时,f(x0+x)1时,指数函数f(x)=ax,当自变量每增加1个单位时,随着自变量的增大,f(x)=ax的函数值增长的越来越快;定义:类似指数函数的增长称为指数
2、增长(或指数级增长、爆炸式增长).(2)线性增长:类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).【思考】指数增长和线性增长中增长速度哪一个大?提示:指数增长.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加1个单位.()(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.()(3)指数函数f(x)=ax(a0且a1)的增长速度一定比线性增长速度大.()提示:(1).自变量每增加1个单位,函数值将增加2个单位.(2).线性增长的增长速度是不变的.(3).当a1时,指数增长速度比线性增长速度大.2.四个人赛跑,假设他们跑过的路程fi
3、(x)(i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x【解析】选D.显然四个函数中,指数函数是增长最快的.故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x.3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法:前5 min温度增加的速度越来越快;前5 min温度增加的速度越来越慢;5 min以后温度保持匀速增加;5 m
4、in以后温度保持不变.其中正确的说法是_.(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,即5 min前每当t增加一个单位增量,则y相应的增量越来越小,而5 min后是y关于t的增量保持为0,则正确.答案:类型一 比较函数值增加的快慢【典例】已知函数y=4x,分别计算函数在区间1,2与3,4上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值的变化规律.【思维引】按照平均变化率的公式进行计算,再说明变化规律.【解析】因为所以y=4x在区间1,2上的平均变化率为=12,在区间3,4上的平均变化率为=192,所以当自变量每增加1个单位时,区间的左端点越大,函数值增加越快.【内化悟】当区
5、间左端点越大,函数值增加越快时,函数的图像有什么特征?提示:图像上升,图像越来越陡.【类题通】平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)计算函数在不同区间上的平均变化率,利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢,(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小,通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响.【习练破】已知函数y=x2-2x-3.(1)分别计算函数在区间1,2与3,4上的平均变化率,分析当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律;(2)记A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3),D(4,f(4),判定直线AB与直线BC斜率的相对大小.【解
6、析】(1)=x2+x1-2,所以在区间1,2上的平均变化率为1,在区间3,4上的平均变化率为5,所以自变量每增加1个单位,区间长不变的条件下,端点之和越大,函数值增加越快.(2)直线AB的斜率为1,直线CD的斜率为5,直线AB的斜率小于直线CD的斜率.【加练固】已知函数y=-x2+2x+1,计算在区间1,2,2,3上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值的变化规律.【解析】=-(x2+x1)+2,所以在区间1,2上的平均变化率为-1,在区间2,3上的平均变化率为-3,所以自变量每增加1个单位,区间长不变的条件下,端点之和越大,函数值减小越快.类型二 比较函数平均变化率的大小类型
7、二 比较函数平均变化率的大小【典例】已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间a,a+1(a1)上的平均变化率的大小.【思维引】计算出平均变化率,再利用指数函数、对数函数的性质比较大小.【解析】因为=23a,又因为a1,所以23a231=6,log3 log3 =log32log33=16,因此在区间a,a+1上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的平均变化率最小.【内化悟】指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的顺序是什么?提示:由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.【类题通】不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变
8、化率;利用指数、对数函数的性质比较大小,一般选取一个中间值进行比较,以确定平均变化率的大小.【习练破】已知函数f(x)=4x,g(x)=5x,分别计算这两个函数在区间2,3上的平均变化率,并比较它们的大小.【解析】所以在区间2,3上f(x)的平均变化率比g(x)的小.类型三 函数增长速度的应用角度1 增长曲线的选择【典例】高为H,满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图像是世纪金榜导学号()【思维引】根据鱼缸的形状,判断h变化时水的体积V变化的快慢,选择变化曲线.【解析】选B.当h=H时,体积是V,故排
9、除A,C.h由0到H变化的过程中,V的变化开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图像,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图像,综合分析可知选B.【素养探】在增长曲线的选择过程中,常常用到核心素养中的直观想象,根据变量增长的快慢,想象函数曲线的变化,从而选择恰当的曲线描述实际问题.本例中,若将鱼缸的形状变为如图的形状,则应选择哪一个曲线?【解析】选D.当h=H时,体积是V,故排除A,C.h由0到H变化的过程中,增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图像,最后增长速度快,类似于指数函数的图像,故综合分析可知选D.角度2 函数变化率大小的应用【典例】函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如
10、图所示.设两函数的图像交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图像上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019);又因为g(2 019)g(6),所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).【类题通】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图像上升快慢,即随着自变量的增长,图像最“陡”的函数是指数函数,图像趋于平缓的函数是对数函数.【习练破】函数
11、f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图像,如图所示:(1)试根据函数增长差异找出曲线C1,C2对应的函数;(2)比较函数增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当xf(x);当x1xg(x);当xx2时,g(x)f(x).【加练固】函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图像如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图像可得:当xh(x)g(x);当1xg(x)h(x);当exf(x)h(x);当axh(x)f(x);当bxg(x)f(x);当cxf(x)g(x);当xd时,f(x)h(x)g(x).
