1、第2课时对数函数的性质与图像的应用类型一 对数函数的图像及应用【典例】1.(2019浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a0且a1)的图像可能是()2.函数f(x)=loga(3x-2)+2的图像恒过点_.【思维引】1.分情况验证各个图像是否符合.2.利用loga1=0确定定点坐标.【解析】1.选D.y=loga的图像过点,排除A,C.y=与y=loga的单调性相异,可排除B.2.根据题意,令3x-2=1,解得x=1,此时y=0+2=2,所以函数f(x)的图像过定点(1,2).答案:(1,2)【类题通】对数函数图像过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图像
2、过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).【发散拓】如图所示的曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图像,则a,b,c,d,1的大小关系是什么?提示:作直线y=1,观察与对数函数的图像交点,交点的横坐标即为底数,从左向右,图像对应的底数逐渐变大,即cd1a0,a1,则f(x)=loga的图像恒过点()A.(1,0)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(1,4)【解析】选B.令=1,解得:x=-2,故f(-2)=loga1=0恒成立,即f(x)=loga的图像恒过点(-2,0).2.(2019赤峰高一检测)函数y=-l
3、g|x|的图像大致是()【解析】选B.因为f(-x)=f(x)是偶函数,所以排除C,D,当x0时,函数y=-lg x为减函数,排除A.【加练固】关于函数f(x)=|x|,下列结论正确的是()A.值域为(0,+)B.图像关于x轴对称C.定义域为RD.在区间(-,0)上单调递增【解析】选D.因为f(x)=|x|,所以f(x)的值域是R,A错误,函数的图像关于y轴对称,B错误,函数的定义域是(-,0)(0,+),C错误,函数f(x)在区间(-,0)上单调递增,D正确.类型二 含对数式的函数的定义域、值域【典例】已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a0,且a1).世纪金榜导学号(
4、1)求函数f(x)的定义域和值域.(2)若函数 f(x)有最小值为-2,求a的值.【思维引】(1)利用每一个对数式真数大于0求定义域,换元法求值域;(2)借助(1)中的最小值求a的值.【解析】(1)由得-3x1,所以函数的定义域为x|-3x0,则01时,yloga4,值域为y|yloga4.当0a1时,yloga4,值域为y|yloga4.(2)由题设及(1)知,当0a|2x|,所以-2x0恒成立,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=lg(+2x)=lg=-f(x),所以f(x)为奇函数.【素养探】在判断含对数式的函数的奇偶性时,常常用到核心素养中的数学运算、逻辑推理,利用对
5、数运算性质化简、变形,利用奇偶性的定义进行判断.本例中将函数变为fx=ln(1+x)ln(1x),试判断函数f(x)的奇偶性.【解析】由解得-1x1,且a-30,解得a3.答案:a3【类题通】1.与对数有关的奇偶问题判断与对数函数有关的奇偶性时,依据是奇偶性的定义,关键是利用对数的运算性质对f(x)进行变形,注意运算logab-1=-logab、分子分母有理化等的应用.2.形如函数y=logaf(x)的单调性首先要确保f(x)0,当a1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y=f(x)的单调性一致.当0a0的前提下与y=f(x)的单调性相反.【习练破】1.(2019济宁高一检测
6、)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0,a1),在区间内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为_.【解析】令y=2x2+x,x ,则y(0,1),因为f(x)0,所以0a0,解得x0,因为y=2x2+x在上是减函数,所以f(x)的单调递增区间为.答案:2.已知y=loga(2-ax)在0,1上单调递减,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2,+)【解析】选B.因为f(x)=loga(2-ax)在0,1上单调递减,所以f(0)f(1),即loga2loga(2-a),所以所以1a0,得x(-,-2)(2,+),令t=x2-4,由于函数t=x2-4的对称轴为y轴,开口向上,所以t=x2-4在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,又由函数y=t是定义域内的减函数,所以原函数在(-,-2)上递增.答案:(-,-2)
