1、6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理必备知识自主学习导思1.共线向量基本定理的内容是什么?此定理有什么作用?2.平面向量基本定理的内容是什么?此定理可以解决什么问题?1.共线向量定理如果a0,且ba,则存在唯一的实数,使得_.如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数,使得_b=a【思考】(1)定理中的条件“a0”能否省略,为什么?提示:不能.如果a=0,b0,不存在实数,使得b=a.如果a=0,b=0,则对任意实数,都有b=a.(2)这里的“唯一”的含义是什么?提示:如果还有b=a,则有=.2.平面向量基本定理(1)定理内容如果平面内的两个向量a与b_
2、,则对该平面内的任意一个向量c,存在唯一的_(x,y),使得c=xa+yb.基底定义平面内不共线的两个向量a与b组成的集合称为该平面上向量的一组基底.注意事项定理中的“不共线”不能去掉,因为两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.不共线实数对(2)本质:就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量表示平面内的任意一个向量.(3)应用:利用此定理进行平面向量的分解.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2)若a,b是同一平面内两个不共线向量,则xa+yb(x,y为实数)可以表示该平面
3、内所有向量.()(3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,dR),则a=c,b=d.()(4)基底向量可以是零向量.()2.已知AD是ABC的BC边上的中线,若则=()A.(a-b)B.-(a-b)C.-(a+b)D.(a+b)3.(教材二次开发:例题改编)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=_.关键能力合作学习类型一 共线向量基本定理的应用(数学抽象、逻辑推理)【典例】设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+e2(R)共线时,的值为()A.0B.-1C.-2D.-【变式探究】本例若把条件“向量b=e1+e2(R)”改为“向量b=2m
4、e1+ne2(m,nR)”其他条件不变,试求m+n的值.【解题策略】利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量基本定理寻求唯一的实数,使得a=b(b0).而已知向量共线求,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得的值.同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问题.【跟踪训练】已知两个非零向量a、b不共线,=a+b,=a+2b,=a+3b.(1)证明:A,B,C三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.类型二 平面向量基本定理的理解(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.设O是平行四边
5、形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A.B.C.D.2.(2020泰安高一检测)如果e1,e2是平面内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是()A.若存在实数1,2,使1e1+2e2=0,则1=2=0B.空间任一向量a可以表示为a=1e1+2e2,其中1,2RC.对实数1,2,1e1+2e2不一定在平面内D.对平面中的任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2有无数对3.已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y=_.【解题策略】对平面向量基本定理的理解(1)在平面
6、内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=xa+yb,且x=y=0.(2)对于固定的不共线向量a,b而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.【拓展延伸】平面向量基本定理的关注点(1)a,b是同一平面内的两个不共线向量;(2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的;(3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.【拓展训练】设a,b不共线,c=2a-b,
7、d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.【补偿训练】设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.类型三 平面向量基本定理的应用(逻辑推理、直观想象)角度1 在线性运算中【典例】若D点在三角形ABC的边BC上,且则3r+s的值为()【变式探究】本例若改为“”,其他条件不变,求r+s的值.角度2 解向量方程组【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c.【解
8、题策略】用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据:向量加法的三角形法则和平行四边形法则;向量减法的几何意义;数乘向量的几何意义.(2)模型:【题组训练】1.在ABC中,EFBC,EF交AC于F,设则等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.a+b2.如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示=()A.a+bB.a+bC.a-bD.a+b3.如图,在AOB中,=a,=b,设而OM与BN相交于点P,试用a,b表示向量.【补偿训练】如图,在ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若=ma+nb,则m+n=()1.如图,线段AB与CD互相平分,则可以表示为()课堂检测素养达标2.(教材二次开发:练习改编)四边形OABC中,若则=()A.a-bB.a-bC.b+aD.b-a3.设a,b是两个非零向量,若8a-kb与-ka+b共线,则实数k=_.4.如图,在ABC中,P是线段BD上一点,若则实数m的值为_.
