1、3.1.3 函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣,给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！1.理解函数的奇偶性的含义.(难点）2.掌握判断函数的奇偶性的方法（重点、难点）3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)=4，f(2
2、)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)=1,f(1)=1，f(-x)=(-x)=xf(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)(-x,y)-xxf(-x)f(x)xyo(x,y)f(-x)=f(x)微课1 偶函数的定义思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.例如，下图：对定义域内任意的自变量x都有对于定义在R上的函数f(x),若f(3)=f(3),则函数f(x)是偶函数.f(x)不一定是偶函数,仅有f(3)=f(3)不足以确
3、定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.【易错点拨】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2a,则a=_，b=_.【解析】因为定义域为a-1,2a关于原点对称，所以a-1+2a=0，所以a=又因为f(-x)=f(x)，所以x2-bx+1+b=x2+bx+1+b,由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.0【即时训练】已知f(x)=x,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)=-8，f(2)=8.f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1，f(1)=1，f(-x)=(-x)=-xf(-1
4、)=-f(1)f(-2)=-f(2)xxyof(-x)=-f(x)-xf(-x)f(x)微课2 奇函数的定义思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.xxyo-xf(-x)f(x)一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数.根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？偶函数偶函数【即时训练】奇函数奇函数【提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的
5、整体性质，是对定义域内的每一个x都成立的；(3)可逆性：f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数，f(-x)=f(x)f(x)是偶函数.判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.()(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)-f(x)=0.()提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.(2)正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)=-f(x)，即f(0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(
6、x)=-f(x)，则有f(x)+f(x)=0.【即时小测】例1 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）因为函数的定义域为R，所以时，又因为，所以函数是奇函数.（2）因为函数的定义域为R，所以时，又因为，所以函数是偶函数.（3）因为函数的定义域为R，所以时，又因为且，所以函数是非奇非偶函数.（4）因为函数的定义域为-1,3，而，但所以函数是非奇非偶函数.（1）判断函数的奇偶性.（2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？【变式练习】解：(1)对于函数，其定义域是.由于对定义域内的任意x，都有所以，函数f(x)是奇函数.(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作
7、出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.（2）验证f(-x)=f(x)，或者f(-x)=-f(x).（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.【总结规律】1.函数不是奇函数就是偶函数吗？【思考交流】2.具备奇偶性的函数图象有什么特点？例2.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？核心知识方法总结易错提醒核心素养既奇又偶函数奇函数偶函数定义定义域特征非奇非偶函数图象特征函数奇偶性的几个结论:(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)(3)偶偶=偶，奇奇=奇，偶偶=奇奇=偶，奇偶=奇（1）判断函数奇偶性第一步，先判断函数定义域是否关于原点对称（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养AD，任何事情的成败取决于自己在遭遇困难时是抬起头还是低下头.
