1、河北安国中学2015届第一学期高三综合测试题数学理科(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1 已知非空集合A，B，全集UAB，集合MAB，集合N(UB)(UA)，则 ()AMNM BMN CMN DMN2 命题“xR，x2ax4ab，则B等于()A. B. C. D.12设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x时，0f(x)0.则函数yf(x)sin x在上的零点个数为()A2 B4 C5 D8二、填空题(每小题5分，共20分)13已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_14
2、已知A(4，7,1)，B(6,2，z)，若|11，则z_.15一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为16，则图中x的值为_16已知f(x)alnxx2(a0)，若对任意两个不等的正实数x1、x2都有2恒成立，则a的取值范围是_三、解答题(共70分)17(本小题满分10分)在ABC中，AB2，AC3，sin C2sin A.(1)求ABC的面积S；(2)求cos(2A)的值18. (本小题满分12分)如图所示，已知正方体AC1中，E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点(1)证明：AB1EH；(2)证明：A1G平面EFD.19(本小题满分12分)数列an的前n项和为Sn2n
3、12，数列bn是首项为a1，公差为d(d0)的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax(aR)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上为单调函数，求实数a的取值范围21(本小题满分12分)四棱锥PABCD底面是平行四边形，平面PAB平面ABCD，PAPBABAD，BAD60，E，F分别为AD，PC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：EF平面PBD；(3)求二面角DPAB的余弦值22. (本小题满分12分)(2014北京西城一模)在如图所示的几何
4、体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB2BC，ABC60，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)求BC与平面EAC所成角的正弦值；(3)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论第七次周测试题答案1、解析：集合NU(AB)，所以MN.故选B.2、解析：命题xR，x2ax4a0为真命题a216a0，即16a0，所以命题“xR，x2ax4a0为假命题”是“16a0”的充要条件故选A.3、解析：满足f(x)f(x)，函数f(x)是奇函数；f(x)1cos x0，函数f(x)是增函数故选D.4、解析：由三视图知该几何体为长方体的一角且长方体的三棱长分
5、别为3,4,5，其对角线长为5，故其外接球的半径为，其表面积为4250.故选B.5、解析：由三视图知该几何体为棱长为2的正方体AC1中截去三棱柱A1D1EHGF，且A1H1，如图所示，几何体的体积为V正方体AC1V三棱柱A1D1EHGF231217.故选C.6、解析：由于函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(1x)f(x)f(x1)f(x1)f(x)f(x2)f(x)，f(3)f(1)f(11)f(0)0，f()f().所以f(3)f().故选C.7、解析：点(x，y)表示的是以点O(0,0)，A(4,0)，B(0,2)为顶点的三角形区域及其边界，如图所示，目标函数z是区域内的点P(x，y)与
6、点Q(1，2)连线的斜率当点P与点A重合时，kQA，当点P与点O重合时，kQO2，结合图形知z的取值范围为(，2，.故选B.8、解析：在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示，作顶点A，C在zOx平面的投影A，C，可得四面体的正视图故选A.9、解析：作出轴截面，设正方体的棱长为a，则ABa，AD为面的对角线，所以ADa，所以xCa，代入yx2得yC.所以CD4a，即a22a80，解得a2，所以正方体的体积为238.故选B.10、解析：选项A中，直线AB，CD相交时确定一个平面，当AC平行直线l时，AC平行平面，可得AC平行BD，此时只能BD平行直线l，选项A中的判断错误；若MN平行
7、直线l，根据M，N为AB，CD的中点可得A，C到直线l的距离相等，即AC平行直线l，同理BD平行直线l，此时A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾，选项B中的判断不正确；设a，b，c，在AB，CD异面的情况下，a，b，c不共面设AC，BD，MN的中点分别为P，Q，R，则ab，(bc)bc(cba)ac，所以abc，abc，所以2，所以P，Q，R三点共线，即过P，Q，R三点的直线与AC，BD，MN相交，此时AB，CD可以为异面直线，故选项C中的判断不正确；若点M，N重合，此时直线AB，CD确定一个平面，且可得AC平行BD，进而可得AC平行平面，进而AC平行直线l，故选项D中的判断正确11
8、、解析：由asin Bcos Ccsin Bcos Ab得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，因为sin B0，所以sin Acos Ccos Asin C，即sin(AC)，sin B，又ab，则B.故选A.12、解析：由题意当x0，f(x)在上是增函数当0x时，f(x)0，f(x)在上是减函数设x2，则02x.由f(x)是以2为最小正周期的偶函数知f(2x)f(x)故x2时，0f(x)0，所以ax22x，而g(x)x22x在(0，)上的最大值为1，所以a1.17、解：(1)在ABC中，根据正弦定理：，所以BCAB，根据余弦定理得cos A，而A(0，)，
9、所以sin A，所以SABACsin A233.(2)由(1)可知sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2 Asin2 A，所以cos(2A)cos 2Acossin 2Asin.18、证明：法一(1)分别连结A1B，A1C则A1BAB1，EHA1C，又BC面AA1B1B，BCAB1，又A1BBCB，AB1平面A1BC，AB1A1C，AB1EH.(2)易知BC1A1C，DC平面BB1C1C，DCBC1，又E、F分别为CC1、BC的中点，EFBC1，EFDC，EFA1C，A1CDCCEF平面A1DC，又A1G平面A1DC，EFA1G，连结AG，正方形ABCD中有AGDF，又AA1
10、平面ABCD，AA1DF，DF平面AA1G，DFA1G，又EFDFF，A1G平面DEF.法二以A点为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，由中点性质可得E(1,1，)，F(1，0)，G(，1,0)，H(，1).(1)所以(1,0,1)，(，)，由00，所以，即AB1EH.(2)因为(，1，1)，(1，0)，(1,0，)，所以00，00，所以，且，故A1G平面EFD.19、解：(1)当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1S1211222
11、1，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n.b1a12，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，得(22d)22(210d)，解得d0(舍去)或d3，所以数列bn的通项公式为bn3n1.(2)由(1)可得Tn，2Tn2，两式相减得Tn2，5.20、解：(1)当a时，f(x)x，f(x)(ex1)(ex2)，令f(x)0，得ex1或ex2，即x0或xln 2，令f(x)0，则xln 2，令f(x)0，则0xln 2，f(x)在(，0，t.令h(t)，h(t)，当t时h(t)0，函数h(t)为单调增函数，h(t)e.函数f(x)在上为单调函数，若函数f(x)在上单调递增，则a对t，e恒
12、成立，所以a；若函数f(x)在上单调递减，则a对t恒成立，所以ae，综上可得a或ae.21、证明：(1)取PB的中点G，分别连结FG、AG，则GF綊BC，GF綊AE，四边形AEFG为平行四边形，EFAG，又AG平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)ABD中，AD2AB，BAD60，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos 60AD2AB2，所以BDAB，平面PAB平面ABCD且平面PAB平面ABCDAB，BD平面PBA，AG面PBABDAG，又PAPBAB，G为PB的中点，AGPB，又PBBDB，AG平面PBD，AGEF，EF平面PBD.(3)解：取AP的中点H，连结BH，则
13、BHPA，由(2)知BD平面PAB，BDPA，PADH，BHD为二面角DPAB的平面角设PAPBABADa.则BHa，BDa.DHa，cosBHD.二面角DPAB的余弦值为.22、(1)证明：因为AB2BC，ABC60，在ABC中，由余弦定理可得ACBC，所以ACBC.又因为ACFB，FBBCB，所以AC平面FBC.(2)解：因为AC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系Cxyz.在等腰梯形ABCD中，可得CBCD.设BC1，所以C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D(，0)，E(，1).所以(，1)，(，0,0)，(0,1,0)设平面EAC的法向量为n(x，y，z)，则有所以取z1，得n(0,2,1)设BC与平面EAC所成的角为，则sin |cos，n|，所以BC与平面EAC所成角的正弦值为.(3)线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC.证明如下：假设线段ED上存在点Q，设Q(，t)(0t1)，所以(，t).设平面QBC的法向量为m(a，b，c)，则有所以取c1，得m(t,0,1).要使平面EAC平面QBC，只需mn0，即t002110，此方程无解所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC.
