1、8.1.2 向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)(a)b=(ab)=a(b).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).【思考】“若ab=ac,则b=c”成立吗?请说明原因.提示:不成立.如ab,ac时,ab=ac,但b与c不一定相等.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)(ab)c=a(bc).()(2)(ab)2=a2b2.()(3)ab(ac)-c(ab)=0.()提示:(1).向量(ab)c与c共线,a(bc)与a共线,故不正确.(2).(ab)2=(|a|b|cos)2=a2b2cos2.(3).ab(ac)-c(ab)=(ab)(
2、ac)-(ac)(ab)=0.2.已知|a|=|b|=2,ab=2,则|a-b|=()A.1B.C.2D.或2【解析】选C.|a-b|=3.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a(a-b)=,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.因为a(a-b)=a2-ab=,所以1-11cos=,所以cos=,因为0,所以=.4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则等于()A.-a2B.-a2C.a2D.a2【解析】选D.如图所示,由题意,得BC=a,CD=a,BCD=120.所以=aacos 60+a2=a2.类型一 向量数量积的运算律的应用【典例】1.(2018全国卷)已知向量
3、a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.02.(2020长春高二检测)已知向量|a+b|=|a-b|,且|a|=|b|=2,则|2a-b|=()A.2 B.2C.2 D.3.(2020马鞍山高一检测)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,E,F分别为BC,CD的中点,则 =()A.B.-C.D.-【思维引】1.利用向量数量积的定义与运算律计算.2.先利用|a+b|=|a-b|得出ab=0,再利用a2=|a|2和向量数量积运算律计算.3.先分别用基向量表示,再利用向量数量积的定义与运算律计算.【解析】1.选B.a(2a-b)=2a2-ab=2-
4、(-1)=3.2.选C.因为向量|a+b|=|a-b|,所以ab=0,又|a|=|b|=2,所以|2a-b|=2 .3.选D.因为菱形ABCD的边长为2,BAD=60,所以=22cos 60=2,又因为所以【内化悟】1.形如“a(2a-b)”的计算将如何进行?提示:类比单项式乘以多项式的计算方法进行.2.根据模长公式,求向量的模的问题应首先做怎样的转化?提示:求模问题一般转化为求模的平方.3.如何解决几何图形中向量数量积的计算?提示:一般选择已知长度与夹角的向量作基底,用基底表示要求数量积的向量,再计算.【类题通】向量数量积运算中的常用结论(1)a2=|a|2.(2)(xa+yb)(mc+nd
5、)=xmac+xnad+ymbc+ynbd,其中x,y,m,nR,类似于多项式的乘法法则.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.【习练破】1.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,则(2a-b)(a+3b)=_.【解析】(2a-b)(a+3b)=2a2+6ab-ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=216+542cos 120-34=0.答案:02.(2019临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5 ,|a-b|=5 ,则|a|=_.【解析】由已知有将b2=|b|2=25代入方程组
6、,解得|a|=.答案:【加练固】(2020烟台高一检测)在ABC中,已知|+|=|-|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点(M靠近B,N靠近C),则 =()A.B.C.D.【解析】选B.因为|+|=|-|,所以BAC=90.又M,N分别为BC的三等分点,类型二 向量的夹角和垂直问题角度1 求向量的夹角【典例】(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【思维引】利用夹角公式计算.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos=,又0,所以a与b的夹角为,故选B.
7、【素养探】解决向量的夹角与垂直问题时,常常需要结合图形分析问题,突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养.若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.【解析】设a与b夹角为,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos=13|b|2+12|b|2cos,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos,故有cos=-.角度2 向量垂直的应用【典例】(2019枣庄高一检测)已知非零向量m,n的夹角为,且满足4|m|=3|n|,cos=.若n(t m+n),则
8、实数t的值为世纪金榜导学号()A.4B.-4C.D.-【思维引】利用向量垂直的充要条件求参数.【解析】选B.由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(t m+n),所以n(t m+n)=nt m+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k +(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【类题通】1.求向量夹角问题一般有两种思路(1)数量积ab与模积|a|b|好求解,直接用变形公式cos=求值定角.(2)ab与|a|b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cos=求值定角.2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是ab0且a与
9、b不同向共线.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是ab0且a与b不反向共线.(3)a与b垂直的等价条件是ab=0.【习练破】1.已知非零向量a,b,若a+3b与a-3b互相垂直,则等于()A.B.9C.D.3【解析】选D.因为a+3b与a-3b互相垂直,所以(a+3b)(a-3b)=0,即|a|2-9|b|2=0.所以=3.2.已知a,b满足|a|=,|b|=2,|a+b|=,求a+b与a-b的夹角的余弦值.【解析】由已知|a|=,|b|=2,|a+b|=,所以(a+b)2=13.即a2+2ab+b2=13,所以2ab=6.所以(a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=1.即|a-
10、b|=1,(a+b)(a-b)=a2-b2=3-4=-1,故cos=【加练固】设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且a与b具有关系|ka+b|=|a-kb|(k0).(1)a与b能垂直吗?(2)若a与b夹角为60,求k的值.【解析】(1)因为|ka+b|=|a-kb|,所以(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|=|b|=1.即k2+1+2kab=3(1+k2-2kab),所以ab=.因为k2+10,所以ab0,即a与b不垂直.(2)因为a与b夹角为60,且|a|=|b|=1,所以ab=|a|b|cos 60=.所以=.所以k=1.类型三 平面向量在平面几何证明中的应用【典例】1.(20
11、19潍坊高一检测)点O是ABC所在平面上的一点,且满足,则点O是ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心2.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.世纪金榜导学号【思维引】1.恰当利用数量积的运算律,对已知等式变形,证明有关直线垂直.2.选择基底表示和,转化为证明向量垂直.【解析】1.选B.因为,所以=0,即=0,所以,同理,所以O是ABC的垂心.2.设=a,=b,则|a|=|b|,ab=0,又=-a+,所以=故,即AFDE.【类题通】利用向量的数量积解决几何问题向量是数学中的一种常用工具,利用向量可以解决很多相关的几何问题,比如判断三角形的形状,四边形
12、的形状等,在求解几何问题时如何把几何问题转化为向量问题,利用向量知识解答是解决问题的关键.【习练破】1.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知 =0,则ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选A.因为即|2-|2=0,所以|=|.所以ABC为等腰三角形.2.已知:如图,AB是O的直径,点P是O上任一点(不与A,B重合),求证:APB=90.(用向量方法证明)【证明】连接OP,设向量=a,=b,则|a|=|b|,=-a且=a-b,=-a-b,所以 =b2-a2=|b|2-|a|2=0,所以,即APB=90.【加练固】如图,点O是ABC的外心,E为三角
13、形内一点,满足求证:.【证明】因为O为外心,所以|=|.因为所以=|2-|2=0,即=0.故.类型四 利用向量的模长公式求力的大小【物理情境】一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和3,求F3的大小.【转化模板】1.因为物理学中力是一个向量,所以求力的大小可以转化为求向量的模的大小,力的平衡即向量的和为零向量,可以建立向量模型解决.2.把三个力F1,F2,F3分别看作向量F1,F2,F3.3.F1,F2,F3满足F1+F2+F3=0,|F1|=2,|F2|=3,且F1,F2夹角为60,求|F3|.4.由F1+F2+F3=0,得-F3=F1+F2,所以|F3|2=(F1+F2)2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=4+9+6=19,所以|F3|=.5.力F3的大小为N.
