1、第五节 离散型随机变量及其概率分布、超几何分布基础梳理1.基本概念(1)随机变量：一般地，如果可以用一个来表示，那么这样的变量叫做随机变量通常用字母X，Y，等表示(2)离散型随机变量：随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量叫做离散型随机变量(3)一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(Xxi)pi(i1,2，n)，则称表随机试验的结果变量Xx1x2xixnPp1p2pi pn为离散型随机变量X的，它和都叫做随机变量X的.概率分布表概率分布2.离散型随机变量的基本性质(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1.3.两点分布如果随机变量X的分布列为
2、X01P1pp则称X服从01分布或两点分布，并记为或_X01分布X两点分布4.超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件Xr发生的概率为P(Xr)r0,1,2，l，,NnMNrnMrCCC其中lminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列X01lpNnMNnMCCC00NnMNnMCCC11NnMNlnMlCCC为如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X记为XH(n，M，N)并将P(Xr)记为超几何分布列服从超几何分布,NnMNrnMrCCCH(r；n，M，N)基础达标1.如果是一个离散型随机变量，那么下列命题正确的是_ 取每一个可能
3、值的概率都是非负实数；取所有可能值的概率之和为1；取某两个可能值的概率等于分别取这两个值中每个值的概率之和；在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内的各个值的概率之和解析：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和答案：2.在01分布中，设P(X1)p，则P(X0)_.解析：P(X0)1p.3.随机变量X的分布列是P(Xk)，k1,2,3,4,5，则P(X3)_.15k解析：P(X3)P(X1)P(X2).15115251答案：514.设50件商品中有15件一等品，其余是二等品，先从中抽取2件，用X表示抽取的2件中一等品的件数，则X_.解析：N50，M15，n2，l
4、minM，n，X0,1，l，所以X0,1,2答案：0,1,2答案：1p5.从装有3个红球和2个黑球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，求随机变量的分布列解析：任取2个球有C2510种取法可取0,1,2，则P(0)，P(1)，P(2)，随机变量的分布列为5222CC101522131CCC535232CC10311035310012PX3表示(1,2)，(2,1)；X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；X12表示(6,6)；Y1表示(1,1)；Y2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；Y3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；Y6表示(1,6)，(2,6)，(
5、3,6)，(6,6)，(6,5)，(6,1)经典例题题型一 随机变量的概念【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为；(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.解(1)可取0,1,2.0表示所取三球没有白球；1表示所取三球是1个白球，2个黑球；2表示所取三球是2个白球，1个黑球(2)X的可能取值有2,3,4,5，12，Y的可能取值为1,2,3，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则X2表示(1,1)；变式11下列几个结果：某机场候机室中一天的游客数量为X；某寻呼台一天内
6、收到的寻呼次数为X；某水文站观察到一天中长江的水位为X；某立交桥一天经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是_解析：、中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量答案：题型二 离散型随机变量分布列的性质【例2】设是一个离散型随机变量，其分布列为：101P0.512qq2解 由分布列的性质得：q1.221,2101215.0,10,121022qqqqq22则q等于_变式21 已知随机变量X的分布列为：P(Xk)，k1,2，则P(2X4)等于_k21解析：P(2X4)P(X
7、3)P(X4).321421163答案：163题型三 求离散型随机变量的分布列【例3】(2010安徽)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现设 n4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X|1a1|2a2|3a3|4a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述(1)写出X的可能值集合；(2)假设a1，a
8、2，a3，a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列；(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2，试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由解(1)X的可能值集合为0,2,4,6,8在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1a1|3a3|与|2a2|4a4|的奇偶性相同，从而X(|1a1|3a3|)(|2a2|4a4|)必为偶数X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值时的排列的例子(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4
9、的一共24种排列，计算每种排列下的X值，等可能的假定下，得到124324724924424X02468P(3)首先P(X2)P(X0)P(X2)，将三轮测试都有X2的概率记作P，由上述结果和独立性假设，得P.由于P 是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测42461616161216110005变式31(2010江苏南通模拟)甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是，.现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始
10、射击假设每人每次射击击中目标与否均互不影响(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)用X表示乙的总得分，求X的分布列6141解析：(1)记“3次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件A.由题意，得事件A的概率P(A).313292(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，P(X0)；P(X1)；P(X2).所以X的分布列为：3131313243324397313241324143721332414141241题型四 超几何分布【例4】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件
11、数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3-k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(Xk)，k0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是103733CCCkk72421407401120X0123P(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，而P(A1)
12、，P(A2),P(X2)，P(A3)P(X3)，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A1)P(A2)P(A3).1033231CCC4034071201403407120112031题型五 离散型随机变量及其分布列的综合应用【例5】一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.若袋中共有10个球(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列97解(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，解得x5.故白球有5个(2)随机变量X的取
13、值为0,1,2,3，P(X0)；P(X1)；121010CCx9733510CC1213102515CCC125P(X2)；P(X3).故X的分布列为：3101525CCC12531035CC121112512512112X0123P变式51 2009年国庆前夕，我国具有自主知识产权的“甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”(简称“试剂盒”)在上海进行批量生产，这种“试剂盒”可以准确诊断出“甲型H1N1流感”病情，为“甲型H1N1流感”疫情的防控再添一道安全屏障，某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了已知诊断结论的6位发热病人(其中“甲型H1N1流感”患者只占少数)，采用该“试剂盒”对他们
14、的病情做了一次验证性检测已知若从6位发热病人中任意抽检2人，恰有1位是“甲型H1N1流感”患者的概率为.(1)求这6位发热病人中“甲型H1N1流感”患者的人数；(2)若用该“试剂盒”逐个检测这6位发热病人，直到能确定“甲型H1N1流感”患者为止，设表示检测次数，求的分布列31解析：(1)设这6位发热病人中“甲型H1N1流感”患者的人数为x，则由题意有，解得x1或x5.又由于“甲型H1N1流感”患者只占少数，故x1，所以这6位发热病人中“甲型H1N1流感”患者的人数为1人(2)依题意得，的所有可能值是1、2、3、4、5.则P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，的分布列为26161CC
15、Cxx15)6(xx31161A61612615AA61613625AA4635AA6131565545AAA 161616161312345P备选例题【例】(2010三亚模拟)为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点(1)求这三人恰有两人消费额大于300元的概率；(2)求这三人消费总额大于或等于1 300元的概率；(3)
16、设这三人中消费额小于300元的人数为X，求X的分布列分析 利用互斥事件及独立事件的概率公式计算解(1)P1(0.3)20.620.30.70.40.222；(2)消费总额为1 500元的概率是：0.10.10.20.002.消费总额为1 400元的概率是：(0.1)20.22(0.2)20.10.010，消费总额为1 300元的概率是：(0.1)20.30.30.10.20.10.40.20.2320.220.10.033.所以消费总额大于或等于1 300元的概率是P20.045.(3)P(X0)0.70.70.60.294，P(X1)0.30.70.620.70.70.40.448，P(X2
17、)0.30.30.60.30.70.420.222，P(X3)0.30.30.40.036.所以X的分布列为：X0123P0.2940.4480.2220.036链接高考(2010广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；要点回顾1.关于离散型随机变量(1)含义的理解：如果
18、随机变量X可能取的值，可以按一定顺序一一列出，这样的随机变量才叫离散型随机变量而某人早晨在出租车站等出租车的时间Y(单位：秒)不是离散型随机变量(2)事件的组成：对于随机变量X，Xk表示一个基本事件，Xk，Xk，Xk，Xk，k1Xk2等均表示由一些基本事件组成的事件(3)根据需要可以自定义随机变量如：在掷一枚均匀硬币的随机试验中，令Y2.分布列的意义及求法.,0,1正面向下正面向上(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率知识准备：会用频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，超几何分布.解析：(1)重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)400.312(件)(2)Y的分布列为228240CC128 112240CCC212240CCY012P(3)从流水线上任取5件产品，则恰有2件产品的重量超过505克的概率是勤.540212328CCC703231(1)分布列的意义研究一个随机现象，需要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率规律，而离散型随机变量的分布列恰是反映随机变量取值及取每一个值的概率情况的良好工具(2)离散型随机变量分布列的求法写出X的所有可能取值；求出X取各个值的概率；按规范形式写出分布列3.关于两点分布服从两点分布的随机变量的取值只能是0与1，否则不是两点分布.
