1、7.2.2 复数的乘、除运算 基础预习初探1.回顾二项式乘法运算,类比复数的乘法运算:(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,dR,则z1z2=_.(2)z1 =_.(3)=_.2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?(ac-bd)+(ad+bc)ia2+b2a2-b2+2abi提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算法则得到除法运算法则,即=zz1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,即x+yi=,等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,即(xc-yd)+(xd
2、+yc)i=a+bi,所以消去y,解得x=同理消去x,解得y=所以(c+di0).【概念生成】1.复数的乘法运算(a+bi)(c+di)=_.2.复数乘法的运算律运算律恒等式交换律z1z2=_结合律(z1z2)z3=_分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1z1(z2z3)3.复数的除法运算(分母实数化)_ (a,b,c,dR,且c+di0).核心互动探究探究点一 复数的乘法运算【典例1】1.(2020上海高一检测)已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为_.2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思维导引】1.利用复数的乘
3、法运算和纯虚数概念求解.2.利用复数的乘法运算法则进行计算.【解析】1.复数(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是纯虚数,则a-6=0,3+2a0,解得a=6.答案:62.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=(1+2i)(1-2i)(2-i)2=5(3-4i)=15-20i.【类题通法】复数乘法运算的注意事项1.复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.2.多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”解析复数乘法计算.复数的减法不满足交换律和结合律.【定向训练】
4、1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=()A.-2B.-C.D.2【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.2.计算:【解析】方法一:方法二:探究点二 复数的除法运算【典例2】1.(2020新高考全国卷)=()A.1B.-1C.iD.-i2.计算:(1+i)(1+i)(2-i).【思维导引】1.通过复数的除法运算法则计算.2.先对括号内的复数进行计算,再进行复数乘法运算.【解析】1.选D.2.方法一:因为所以(1+i)(1+i)(2-i)=(1+i)=(1+i)=方法二：（1+i）（1+i）（2-i）=（1+i）=（1+i）
5、=2-i.【类题通法】复数除法运算的注意事项1.将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.2.多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.【定向训练】1.(2020全国卷)复数(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i【解析】选D.因为所以z=i.2.计算:(1+i)(1+i)(2-i).【解析】(1+i)(1+i)(2-i)=1(2-i)=探究点三 复数乘方运算以及周期性【典例3】计算i+i2+i3+i2 020=_.【思维导引】计算in,nN*的值,明确周期性
6、计算.【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,所以i+i2+i3+i2 020=5050=0.答案:0【类题通法】in(nN*)的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=ii2=-i,i4=i3i=-i2=1,从而对于任何nN*,有i4n+1=i4ni=(i4)ni=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,这就是说,如果nN*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.注意:(1)上述公式中,说明in(nN*)具有周期
7、性,且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集.(3)4k(kZ)是in(nN*)的周期.显然in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).因为in(nN*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1i)2=2i,=i,=-i.【定向训练】1.(2020全国卷)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】选A.(1-i)4=(-2i)2=-4.2.已知=2n,求最小正整数n.【解析】原等式可化为=2n,即(1+i)2n(1+i)+(1-i)2n(1-i)=22n,(2i)n(1+i)+(-2i)n(1-i)=22n,2nin(1+i)+2n
8、(-i)n(1-i)=22n,所以in(1+i)+(-1)n(1-i)=2,若n=2k(kN*),则i2k(1+i)+(1-i)=2,所以i2k=1,所以k=2,所以n=4.若n=2k-1(kN*),则i2k-1(1+i)-(1-i)=2,故2i2k=2,所以i2k=1,k=2,n=3.所以对于nN*,最小正整数为3.探究点四 实系数一元二次方程的求根公式【典例4】在复数范围内解下列一元二次方程:(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.【思维导引】(1)利用复数的乘方运算解方程.(2)利用配方法解方程,也可以运用一元二次方程的求根公式解方程.【解析】(1)由x2+9=0,得x2=-9=(3
9、i)2,所以x=3i.(2)方法一:由x2-x+1=0配方得x2-x+即所以解得x=方法二:由x2-x+1=0,得=(-1)2-4=-3,由实系数一元二次方程的求根公式,得x1,2=【类题通法】实系数一元二次方程的求根公式1.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,cR,a0,=b2-4ac,(1)当0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=,若这两个根为二次根式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);(2)当=0时,方程有两个相等的实数根x1,2=;(3)当0时,方程有两个不相等的虚数根x1,2=,这两个虚根互为共轭虚数.2.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,cR,
10、设其两个复数根分别为x1,x2,根与系数的关系(即韦达定理)仍然成立:x1+x2=-,x1x2=.【定向训练】1.若z2+z+1=0,则z2 017+z2 018+z2 020+z2 021的值为()A.2B.-2C.D.【解析】选B.因为z2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z3-1=0,所以z3=1(z1),则z4=z,z2 017=(z3)672z=z,于是原式=z2 017(1+z+z3+z4)=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.2.解方程x2+2x+3=0.【解析】由方程x2+2x+3=0,得=b2-4ac=-8,所以方程的两根为3.已知一元二次方程x2-
11、ax+2a+1=0,aR且a0的一个根是1+2i,求a的值以及另一个根.【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,aR的一个根是1+2i,则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.方程为x2-2x+5=0,=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2=12i,所以方程另一个根为1-2i.方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,aR的一个根是1+2i,则另一个根为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=a,即a=2.【课堂小结】课堂素养达标1.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以复平面内表示复数z的点位于第三象限.2.(2020全国卷)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=3.已知(1+2i)z=4+3i,则=_.【解析】因为z=2-i,所以=2+i.答案:2+i4.计算:(1)【解析】
