1、第2课时 正弦定理基础预习初探1.回顾直角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,直角三角形ABC中,C=90,c=2R,R为ABC外接圆的半径,显然有=2R(定值).2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,A=D,CBD=90,所以=CD=2R,同理=2R,=2R.得=2R(定值),同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.【概念生成】1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即=2R.(R为三角形外接圆的半径)2.正弦定理的变形公式由正弦定理,可以得到如下推论(变形
2、公式):(1)边化角公式:a=2Rsin A;b=2Rsin B;c=2Rsin C.(2)角化边公式:sin A=;sin B=;sin C=.核心互动探究探究点一 利用正弦定理解三角形【典例1】(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60,a=4 ,b=4,则B=()A.B=30或B=150B.B=150C.B=30D.B=60(2)已知ABC中,c=6 cm,A=45,C=30,解三角形.【思维导引】(1)由正弦定理求得sin B=,根据ab,由三角形中大边对大角可得Bb,所以B60,所以B=30.故选C.(2)由三角形内角和定理,得B=180-(A+C)=105,s
3、in 105=sin 75=sin(30+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45=.根据正弦定理,得a=6 (cm),b=3(+)(cm).【类题通法】利用正弦定理解三角形的注意事项(1)如果已知三角形的两角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.【定向训练】1.(2020东莞高一检测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45,C=120,则边c=()A.B.C.2D.【解析】
4、选D.因为b=2,B=45,C=120,所以由正弦定理,可得,所以解得c=.2.已知ABC中,a=2 ,c=2 ,A=45,解三角形.求B,C,b.【解析】因为a=2 ,c=2 ,A=45,所以由正弦定理,得sinC=,又0C180,得C=60或C=120.当C=60时,B=75,sin 75=,b=；当C=120时,B=15,sin 15=,b=.探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状【典例2】在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcos C,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形【思维导引】利用正弦定理,转化为三角形的内角的三角
5、函数关系判断,也可以用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.【解析】选A.方法一:在ABC中,a=2bcos C,由正弦定理,得2Rsin A=4Rsin Bcos C,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,得sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,所以ABC为等腰三角形.方法二:在ABC中,由余弦定理,得cos C=,所以a=2bcos C=2b ,得a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以ABC为等腰三角形.【类题通法】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2
6、)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.【定向训练】若,则ABC是()A.等腰直角三角形B.有一内角是30的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30的等腰三角形【解析】选A.在ABC中,则由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可得,即tan B=tan C=1,所以B=C=45,A=90,故ABC为等腰直角三角形.探究点三 正弦、余弦定理的综合应用【典例3】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-si
7、n C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若+b=2c,求sin C.【思维导引】(1)利用角化边,建立三角形的三边关系,再用余弦定理求cos A,最后求A.(2)利用边化角,转化为三角恒等变换求sin C,也可以先求出C角,再求sin C.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=.因为0A180,所以A=60.(2)方法一:由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120-C)=2sin C,即cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+
8、60)=-.由于0C120,所以sin(C+60)=,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=.方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,所以 +cos C+sin C=2sin C,整理可得3sin C-=cos C,即3sin C-cos C=2 sin =,所以sin =,所以C=或,因为A=且A+C,所以C=,所以sin C=sin =sin =sin cos +cos sin =.【类题通法】利用正、余弦定
9、理解决三角形综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的方面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正弦、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.【定向训练】在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值.【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.(2)先利用正弦定理求出sin C的值,再利用余弦定理求出cos C的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin 2C的值.【解析】(1
10、)在ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,即BC2=32+22-232cos 60,解得BC=.(2)由正弦定理,得,解得sin C=;由余弦定理得,cos C .所以sin 2C=2sin Ccos C=2 .【补偿训练】若在ABC中,AC=,A=45,C=75,求BC,AB及B.【解析】在ABC中,由A+B+C=180得B=180-A-C=60,在ABC中,由正弦定理得,故BC=,AB=.【课堂小结】课堂素养达标1.在ABC中,a=b,A=120,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.由正弦定理得,sin B=,因为A=120,得
11、B=30.2.已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=+且A=75,则b=()A.2 B.4+2 C.4-2 D.【解析】选A.sin A=sin75=sin(30+45)=sin 30cos 45+sin 45cos 30=.由a=c=+可知,C=75,所以B=30,sin B=.由正弦定理得b=2.3.在ABC中,a=bsin A,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选B.在ABC中,a=bsin A,由正弦定理,得=b=,则sin B=1,即角B为直角,故ABC是直角三角形.【补偿训练】设ABC的内角A,B,C所对的边分别
12、为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sin A=sin2 A.因为A(0,),故sin A0,所以sin A=1.因为A(0,),故A=,所以ABC为直角三角形.4.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=_.【解析】由已知条件可得sin A=,sin B=,而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,根据正弦定理,得c=.答案:
