1、6.2.3 向量的数乘运算基础预习初探1.(1)类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢?提示:可以,即a+a+a=3a.(2)3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢?提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.(3)按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系.提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若|a|=,则|3a|=3.(4)实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量a,b,上式是否仍成立?提示:成立,向量同样满足分配律、结合律.2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情
2、况?提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量.(2)若b=2a,b与a共线吗?a与a(0,a0)的方向有何关系?提示:a与b共线,a与a的方向相同或相反.(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数使得b=a?提示:一定存在,且是唯一的.【概念生成】1.向量的数乘一般地,实数与向量a的乘积是一个_,这种运算叫做向量的数乘,记作a.2.向量的数乘的长度与方向(1)长度:|a|=|a|.(2)方向:若a0,当0时,a的方向与a的方向_;当0时)或a的反方向(0,所以|a|=4|b|.因为4b与b的方向相同,所以a与b的方向相同.2.在ABCD中,=2a,=3b,则等于()A.a+bB.a-b
3、C.2a+3bD.2a-3b【解析】选C.=+=2a+3b.3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线【解析】选B.因为=a+4b,即=,所以即存在=1使所以共线.又因为两向量有公共点B,所以A,B,D三点共线.4.如图,在ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=则t=-的最大值是_.【解析】设0k1,则所以所以t=-=3k.又0k1,所以当k=1时,t取最大值3.故t=-的最大值为3.答案:35.已知两个非零向量e1,e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A,B,D三点共线.【证明】因为=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6 ,所以 .又因为AD和AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.
