1、6.2.2 导数与函数的极值、最值第1课时 函数的导数与极值主题 函数极值的概念及求法观察图像回答下面问题基础预习初探1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.2.f(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?提示:f(a)=0,在点x=a附近的左侧f(x)0.3.函数在点x=b的情况呢?提示:函数在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.结论:函数极值的概念1.设函数y=f(x)的定义域为D,设x0D,如果
2、对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.2.极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.【对点练】1.函数y=f(x)的导数y与函数值和极值之间的关系为()A.导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.2.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是()y=x3;y=x
3、2+1;y=cos x-1;y=2x.A.B.C.D.【解析】选B.为单调函数,不存在极值.3.如图是导函数y=f(x)的图像,函数y=f(x)的极大值点是_,极小值点是_.【解析】因为在点x2左侧导函数图像在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导函数图像在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点,因为在点x4左侧附近导函数图像在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导函数图像在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.答案:x2x4核心互动探究探究点一 求函数的极值【典例1】(1)对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:f(x)是增函数,无极值;f(x)是减函数,无极值;f(x)的单调递增区间为
4、(-,0),(2,+),单调递减区间为(0,2);f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个(2)设函数f(x)=+ln x,则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点(3)求函数f(x)=的极值.【思维导引】求导后写出定义域内的单调区间,根据单调区间确定函数极值.【解析】(1)选B.f(x)=3x2-6x.令f(x)=3x2-6x0,得x2或x0;令f(x)=3x2-6x0,得0 x2时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当0 x2时,f(x)0,f 3.故
5、实数m的取值范围是(3,+).【类题通法】利用极值求参数值的关注点(1)求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.【定向训练】已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于点(1,0),则f(x)的极值为()A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为C.极小值为-,极大值为0D.极大值为-,极小值为0【解析】选A.f(x)=3x2-2px-q.由函数f(x)的图像与x轴切于点(1,0),得p+q=1,所以q=1-
6、p,3-2p-q=0,联立,解得p=2,q=-1,所以函数f(x)=x3-2x2+x,则f(x)=3x2-4x+1,令f(x)=0,得x=1或x=.当x 时,f(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)极大值=f =,f(x)极小值=f(1)=0.【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.因为x=-1时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值
7、,所以-1,3是方程f(x)=0的根,即为方程3x2+2ax+b=0的两根.故解得所以f(x)=x3-3x2-9x+c.因为x=-1时取得极大值7,所以(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7,所以c=2,所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-332-93+2=-25.探究点三 函数极值的综合应用【典例3】(1)若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为_.(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.【思维导引】(1)先求出
8、参数c的值,再利用导数求出斜率.(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.【解析】(1)因为函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,所以f(x)=(x2+c)+(x-2)2x,令f(2)=0,所以(c+4)+(2-2)22=0,所以c=-4,所以f(x)=(x2-4)+(x-2)2x.所以函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率f(1)=(1-4)+(1-2)2=-5.答案:-5(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x
9、)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.当x0;当-1x1时,f(x)1时,f(x)0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出f(x)的大致图像如图所示:因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,结合f(x)的图像可知,m的取值范围是(-3,1).【类题通法】1.三次函数有极值的充要条件三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数;若a0时,若a0,则f(
10、x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a00a0a0),令(x)=0,得x=1或x=3,当x变化时,(x)与(x)的变化情况如表x(0,1)1(1,3)3(3,+)(x)+0-0+(x)极大极小当x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增;当x(1,3)时,(x)0,(x)单调递增;当x=1,或x=3时,(x)=0.所以(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln 3-15.因为当x充分接近0时,(x)0.所以要使(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即7m15-6ln 3.所以存在实数m,使得
11、函数y=f(x)与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln 3).【课堂小结】课堂素养达标1.函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.在(a,b)内,使f(x)=0的点有A,B,O,C.要为函数的极小值点,则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正,只有点B符合.2.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.
12、对于f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.3.下列函数存在极值的是()A.y=B.y=x-exC.y=x3+x2+2x-3D.y=x3【解析】选B.对于A中f(x)=-,令f(x)=0无解,所以A中函数无极值.B中f(x)=1-ex,令f(x)=0可得x=0.当x0,当x0时,f(x)0.所以y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.C中f(x)=3x2+2x+2,=4-24=-200;当x(1,e)时,f(x)0,故f(x)在x=1处取得极大值,f(1)=ln 1-1=0-1=-1.5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为()A.-B.-2C.-2或-D.2或-【解析】选A.由题意知,f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=0,f(1)=10,即解得或经检验只有满足题意,故=-.6.求函数y=x+的极值.【解析】y=1-=,令y=0解得x=1,而原函数的定义域为x|x0,所以当x变化时,y,y的变化情况如表:所以当x=-1时,y极大值=-2,当x=1时,y极小值=2.x(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+)y+0-0+y极大值极小值本课结束
