1、6.1.3 基本初等函数的导数主题 几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=均可表示为y=f(x)=x(Q,且0)的形式,其导数有何规律?提示:因为(x)=1x1-1,(x2)=2x2-1,()=()=所以(x)=x-1.基础预习初探2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?提示:(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.(2)若y=x表示路程
2、关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问题?提示:可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程,降低运算难度.结论:常用函数的求导公式,其中C,x,a均为常数,a0且a1.C=_(x)=x-1(ax)=_logax=(sinx)=cosx(cosx)=-sinx0axln a【对点练】1.已知函数f(x)=,则f 的值为()A.4B.-4C.D.-【解析】选B.因为f(x)=,所以f(x)=-,所以=-4.2.设函数f(x)=x2,则不等式f(x)+f(x)3的解集为_
3、.【解析】因为f(x)=x2,所以f(x)=2x,所以不等式f(x)+f(x)3变为x2+2x-30,解得x1,所以解集为(-,-3)(1,+).答案:(-,-3)(1,+)3.正弦函数y=sin x在x=处的切线方程为_.【解析】求导,得y=cos x,代入x=,可得曲线y=sin x在x=处的切线斜率为,又切点纵坐标为sin ,即,所以所求切线方程为y-去分母化简得12y-6=6 x-,即6 x-12y+6-=0.答案:6 x-12y+6-=0核心互动探究探究点一 利用公式求函数的导数【典例1】(1)给出下列结论:若y=ln x,则y=;若f(x)=3x,则(f(1)=3;若y=,则y=.
4、其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)求函数f(x)=cos x在处的导数.【思维导引】(1)适当进行化简,再运用导数公式判断.(2)先求函数的导函数,然后把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.【解析】(1)选A.为常数,则=0,所以错误;y=(ln x)=,所以正确;因为f(x)=3x,所以f(x)=3,所以(f(1)=0,所以错误;y=所以错误.(2)因为f(x)=-sin x,所以【类题通法】求函数导数的关注点(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.(3)要特别注意“与
5、ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x”的导数区别.【定向训练】已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f(x)-g(x)=1,则x=_.【解析】因为f(x)=x2,g(x)=ln x,所以f(x)=2x,g(x)=且x0,f(x)-g(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-(舍去).故x=1.答案:1【补偿训练】质点的运动方程是s=sin t.(1)求质点在t=时的速度.(2)求质点运动的加速度.【解析】(1)v(t)=s(t)=cos t,所以即质点在t=时的速度为.(2)因为v(t)=cos t,所以加速度a(t)=v(t)=(cos t)=-s
6、in t.探究点二 曲线切线方程的确定与应用【典例2】过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线的斜率.【思维导引】利用基本初等函数的导数求切点和斜率.【解析】因为(ex)=ex,设切点坐标为(x0,),则过该切点的直线的斜率为,所以所求切线方程为y-=(x-x0).因为切线过原点,所以-=-x0 ,x0=1.所以切点为(1,e),斜率为e.【延伸探究】已知点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即=1.y=(ex)=
7、ex,=1,得x0=0,代入y=ex,y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得距离为.【类题通法】利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.【定向训练】(2020全国卷)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【解析】选D.设直线l在曲线y=上的切点为,由题意知x00,函数y=的导数为y=,则直线l的斜率k=,直线l的方程为y-即x-2 y+x0=0,由于直线l与圆x2+y2=相切,则两边平方并整理得5 -4x0-1=
8、0,解得x0=1,x0=-(舍),则直线l的方程为x-2y+1=0,即y=【课堂小结】课堂素养达标1.若函数f(x)=10 x,则f(1)等于()A.B.10C.10ln 10D.【解析】选C.因为f(x)=10 xln 10,所以f(1)=10ln 10.2.已知f(x)=x(Q,且0),若f(1)=,则等于()【解析】选D.因为f(x)=x,所以f(x)=x-1,所以f(1)=.3.一物体在曲线s=上运动,则该物体在t=3时的瞬时速度为_.【解析】因为s=()=,所以该物体在t=3时的瞬时速度为s(3)=答案:4.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f(x)+g(x)0的x的值.【解析】因为f(x)=cos x,g(x)=x,所以f(x)=(cos x)=-sin x,g(x)=x=1,由f(x)+g(x)0,得-sin x+10,即sin x1,但sin x-1,1,所以sin x=1,所以x=2k+,kZ.本课结束
