1、第2课时 等差数列习题课新课程标准素养风向标能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应问题1.会求等差数列前n项和的最值(数学运算)2.能解决可转化为等差数列的求和问题(数学运算)3.会用裂项相消法求和(数学运算)核心互动探究探究点一 求等差数列前n项和的最值【典例1】在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求an的前n项和Sn的最大值.【思维导引】解答本题方法一:可先由条件求出公差d,进而求出等差数列an的前n项和,然后借助二次函数知识求Sn的最大值.方法二:先由求出取最大值时n的值再求和.【解析】方法一:由题意得即所以Sn=25n+(-2)=-(n-13)2+16
2、9.故当n=13时,Sn有最大值169.方法二:由方法一知所以an=25+(n-1)(-2)=-2n+27.由所以n=13时,Sn有最大值S13=169.【类题通法】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)通项公式法:在等差数列an中,当a10,d0时,Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式组确定;当a10时,Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式组确定.(2)运用函数思想求最值:Sn=n2+,若d0,则从二次函数的角度看:当d0时,Sn有最小值;当d0,S80,S80,所以a50,由S8=4(a4+a5)0,所以a40,所以Sn取得最小值的n为4.探究点二 等差数列前n项和S
3、n的函数特征【典例2】数列an的前n项和Sn=33n-n2,(1)求an的通项公式;(2)an的前多少项和最大?(3)设bn=|an|,求数列bn的前n项和Sn.【思维导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)当n2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,又当n=1时,a1=S1=32=34-21满足an=34-2n.故an的通项公式为an=34-2n.方法
4、二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数,所以an是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)令an0,得34-2n0,所以n17,故数列an的前17项大于或等于零.又a17=0,故数列an的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知,当n17时,an0;当n18时,an0,由得又因为nN*,所以当n=13时,Sn有最大值169.方法三:因为S9=S17,所以a10+a11+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.因为a10,所以d0,a140;当n35时,an0.(1)当n34时,Tn=|a1|+|a2|+
5、|an|=a1+a2+an=Sn=-n2+n;(2)当n35时,Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an|=(a1+a2+a34)-(a35+a36+an)=2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an)=2S34-Sn=n2-n+3 502.故【类题通法】1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到该分界点的各项和为最值.(2)借助二次函数的图像及性质求最值.2.寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用来寻找.(2)到函数y=ax2+bx(a0)的图像的对称轴距离最近的左侧的一个整数或离
6、对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.3.求数列|an|的前n项和,应先判断an的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.【定向训练】已知数列an的前n项和Sn=n2-6n,则|an|的前n项和Tn等于()A.6n-n2 B.n2-6n+18C.D.【解析】选C.由Sn=n2-6n得an是等差数列,且首项为-5,公差为2,所以an=-5+(n-1)2=2n-7,当n3时,an3时,an0,Tn=【补偿训练】Sn表示等差数列an的前n项和,且S4=S9,a1=-12.(1)求数列an的通项an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+|an|.【解析
7、】(1)设公差为d,因为S4=S9,a1=-12,所以4(-12)+6d=9(-12)+36dd=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)当n7时,Tn=-(a1+a2+a3+an)=-Sn=13n-n2,当n8时,an0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.综上,Tn=探究点三 等差数列的综合应用【典例3】已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且(1)求证:数列an是等差数列.(2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,求Tn.【思维导引】(1)借助已知Sn求an公
8、式,利用等差数列的定义an-=常数来证.(2)先求出Sn,bn,观察发现运用裂项法求和.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=解得a1=1.当n2时,由得即又因为an+0,所以an-=1(n2).所以an是以1为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知an=n,所以所以Tn=b1+b2+b3+bn=【类题通法】裂项相消法求和当数列的通项是分式形式,分母是两个式子的乘积,且两个式子的差为常数,这时可以把通项分裂成两项之差,如在求和时,中间很多项都会相互抵消,只剩首尾若干项,从而求出数列的和.【定向训练】在等差数列中,a1=8,a3=4.(1)设数列的前n项和为Sn,求Sn的最大值及使得Sn最
9、大的序号n的值;(2)设Tn为数列的前n项之和,求Tn.【解析】(1)等差数列的公差所以an=10-2n,=于是当n取4或5时,(2)所以【补偿训练】Sn为数列an的前n项和,已知an0,=4Sn+3.(1)求an的通项公式.(2)设,求数列bn的前n项和.【解题指南】(1)根据an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3确定an的通项公式.(2)利用裂项法求和.【解析】(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3,可得 +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an),由于an0,可得an+1-an=2,又+2a1=4a1+
10、3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=【课堂小结】课堂素养达标1.设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64【解析】选A.a8=S8-S7=82-72=15.2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.S1=2(a1-1),即a1=2a1-2,解得a1=2.a1+a2=2(a2-1),解得a2=4.3.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2ak+1+2=24.故ak+1=2k+1=11.所以k=5.4.设等差数列an的前n项和为Sn,已知S130,S140,若akak+10,S14=7(a7+a8)0,所以a80,所以k=7时,a7a80.答案:75.已知等差数列an中,a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12.【解析】整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),a12=+(12-1)=-4.本课结束
