1、第五讲幂函数与二次函数ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一幂函数函数yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)知识点二二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0”题组一走出误区1
2、(多选题)下列结论中不正确的是(ABD)Ayx0的图象是一条直线B若幂函数yxn是奇函数，则yxn是增函数C二次函数yax2bxc(xR)不可能是奇函数D当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数题组二走进教材2(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点(，)，则k(C)A B1 C D2解析由幂函数的定义知k1.又f()，所以()，解得，从而k.3(必修1P39BT1改编)函数f(x)x26x8，当x3时，函数取得最大值17.4(必修1P44AT9改编)二次函数yf(x)满足f(1)f(3)，x1，x2是方程f(x)0的两根，则x1x22.题组三考题再现5(2016全国卷)已知a
3、2，b3，c25，则(A)Abac Babc Cbca Dcaab.故选A6(2017浙江卷，5)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm(B)A与a有关，且与b有关 B与a有关，且与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，且与b有关解析f(x)(x)2b，当01时，f(x)minmf()b，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmax，1a与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关，故选BKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
4、考点突破互动探究 考点一幂函数图象与性质自主练透例1 (1)(2020河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数yf(x)的图象，经过点(2,2)，则幂函数的解析式为(C)Ay2x ByxCyx Dyx(2)若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(B)AdcbaBabcdCdcabDabdc(3)(2018上海)已知2，1，1,2,3，若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则1.(4)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是1，).解析(1)幂函数yf(x)x的图象经过点(2,2)，22，解得，幂函数的解析式为yx
5、.故选C(2)由幂函数图象性质知，在x1右侧从下至上次数依次增大，故选B(3)由奇函数知1,1,3，又在(0，)为减函数知1.(4)由幂函数y性质得，解得1a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B名师点拨 二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别角度2利用二次函数的图象和性质求参数例4 已知f(x)x22x5.(1)若xR，则函数f(x)的最小值为4；(2)若x1,2，则函数f(x)的最小值为4，最大值为8；(3)若xt，t1，则函数
6、f(x)的最小值为.分析对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论解析(1)f(x)x22x5(x1)244，f(x)的最小值为4.(2)f(x)的对称轴为x1，又11,2，f(x)minf(1)4，由二次函数的图象知，f(x)在1,1上单调递减，在1,2上单调递增又f(1)(1)22(1)58，f(2)222255，f(x)max8，f(x)min4.(3)f(x)的对称轴为x1.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(t)t22t5，当t1t1即0
7、t1时，f(x)在t,1上单调递减，在1，t1上单调递增，f(x)minf(1)12254.当t11即t0，f(x)在t，t1上单调递减，f(x)minf(t1)t24.f(x)min引申在(3)的条件下，求f(x)的最大值解析当1即t时f(x)最大值为f(t1)t24当1，即t0，则yminc，若xR，a0，则ymaxc.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)(2)(3)两类问题，通常要把与区间端点、中点比较，分类求解角度3二次函数中的恒成立问题例5 (20
8、20石家庄模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为(，).解析解法一：由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)2()2，(，1)，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可解法二：当a0时，f(x)2x2，显然f(4)6，不合题意，a0(1)当a0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x.若1即a1时，fmin(x)f(1)a0，即a1.若4即00得a矛盾若14即a0得a.即a1.(2)当a矛盾综上可知a的取值范围是(，)引申若将“一切x值都有f(x)0”改为“f(x)0有解”呢？解析由解
9、法一知a在(1,4)上有解即a()ming(1)0，a的取值范围是(0，)名师点拨 二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.注：af(x)有解af(x)min，af(x)有解af(x)max.变式训练2(1)(多选题)(角度1)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为(ABD)A BC1 D1(2)(角度2)(2020河北唐山一中模拟)若函数f(x)a
10、x22ax1在1,2上有最大值4，则a的值为(B)A1 B C1或 D3(3)(角度3)(2020杭州模拟)已知x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，则实数a的取值范围是(A)A(0,2) B(2，)C(0，) D(0,4)解析(1)当b0时，对称轴为y轴，a时开口向下，a210，A正确a时开口向上，a210时，对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0，得a，又a2，无解；当11即2a0得0a0，得a2，又a2，无解综上得0a0时，r(a)是减函数，故令r(1)0得t2，当t0时，r(a)是增函数，故令r(1)0，解得t2，综上知，t2或t2或t0.名师点拨 转换变量有时会起到意想不到的效果，一般已知给出谁的范围，通常让它作变量，求谁的范围，谁作参数变式训练3已知f(x)x2ax1，当a1,2时恒有f(x)3，则x的取值范围为(1，1).解析设x2ax1g(a)，则g(a)xax21，a1,2，由已知得g(a)3，只需满足，即解得：1x1.故填(1，1)
