1、64.2用样本估计总体的离散程度新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)数据分析2.理解离散程度参数的统计含义数学运算2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕中国射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：95787686 77问题(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？(2)如果这是一次选拔性考核，你认为派哪名运动员参赛最好？知识点一极差将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差
2、称为极差，也称为全距，用R表示极差的统计意义是什么？提示：极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，它极易受极端值的影响，由于极差只利用了一组数据两端的信息，不能全面地描述全部数据的离散程度知识点二方差1总体方差(方差)：若设y1，y2，yN是总体的全部个体，是总体均值，则称2为总体方差或方差2样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，xn，用x表这n个数据的均值，则称s2为这n个数据的样本方差3分层抽样中的全部样本方差如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本方差为s2n1n2拓展：如
3、果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，xjnj，第j层的样本容量为nj，样本均值为xj，样本方差为s，j1，2，k.记jn，则全部样本方差为s2j.方差的统计意义是什么？提示：方差s2刻画了样本数据相对于样本均值x集中或离散的程度s2越大离散程度越大，越不整齐国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩x8.58.88.88方差s23.53.52.18.7则应派_参赛最为合适解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适答案：丙知识点三标准差标准差是方差的算术平方根总体方差2，总体标准差，样本
4、方差s2，样本标准差s.显然s .对方差、标准差的再理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；(2)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；(3)标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差；(4)标准差的单位与样本数据一致 标准差、方差的计算例1(链接教科书第238页例5)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高(单位：cm)如下：甲：254140
5、37221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？解(1) 甲(25414037221419392142)30030(cm)，乙(27164427441640401640)31031(cm)所以甲乙，即乙种玉米苗长得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 042104.2，s2(2731)23(1631)22(4431)23(4031)21 288128.
6、8.所以ss，即甲种玉米苗长得齐用样本的标准差、方差估计总体的方法用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性 跟踪训练甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的冬小麦品种是_解析：甲(9.89.910.11010.2)10(t/km2)，乙(9.410.310.89.79.8)10(t/km2)，即甲、乙两种冬小麦的平均产量
7、都为 10 t/km2.(0.040.010.0100.04)0.02，s(0.360.090.640.090.04)0.244，即ss，故甲种冬小麦的产量比较稳定答案：甲分层抽样中的方差计算例2(链接教科书第238页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为14，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？解由题意可知甲60，甲队队员在所有队员中所占层权为w甲，乙70，乙队队员在所有队员中所占层权为w乙，则甲、乙两队全部队员的平均体重为w甲x甲w乙乙607068(kg)，甲
8、、乙两队全部队员的体重的方差为s2w甲s(甲)2w乙s乙(乙)2200(6068)2300(7068)2296.计算分层抽样中样本方差s2的步骤(1)确定1，2，s，s；(2)确定；(3)应用公式s2n1s(1)2n2s(2)2，计算s2. 跟踪训练某培训机构招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差解：依题意A130，s115，B110，s215，130110115，全体学生的平均成绩为115分全体学生成绩的方差为s2s(
9、A)2s(B)2(115225)(21525)85180265.方差(标准差)的实际应用例3某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)去年测评的数据如下：甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；(3)根据以上数据你认为甲、乙
10、哪所学校人民满意度比较好？解(1)甲学校人民满意度测评数据的平均数为甲(96112971081001038698)100，中位数为99，乙学校人民满意度测评数据的平均数为乙(10810194105969397106)100，中位数为99.(2)甲学校人民满意度测评数据的方差：s(96100)2(112100)2(98100)255.25，乙学校人民满意度测评数据的方差：s(108100)2(101100)2(106100)229.5.(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好标准差(
11、方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小；(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策在平均数相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性 跟踪训练在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？(1)平均说来一队比二队防守技术好；(2)二队比一队技术水平更稳定；(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；(4)二队很少不失球解：(1)正确从平均失球数的角度，一队的平均失球数1.5小于二队
12、的平均失球数2.1.(2)正确标准差越小，发挥越稳定，二队失球数的标准差0.4小于一队失球数的标准差1.1，所以说二队的技术水平更稳定(3)正确从标准差的角度考虑，一队失球数的标准差为1.1，均值为1.5，说明表现好时失球很少，表现差时失球较多(4)正确综合平均数和标准差两个指标考虑，平均数大且标准差小，说明失球数多为1，2，3.实际生活中决策的制订(开放问题)实例有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩(单位：环)如表次数12345678910甲77898910999乙89781071010710现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据下列设置的三种情境，请你帮助教练员制订出符合实际情况的选拔
13、标准情境1如果10次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准？情境2如果这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎样制订选拔标准？情境3教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参赛此时应制订怎样的选拔标准？提示：在情境1中，教练员可能会制订这样的标准，即标准1：以两名运动员的最后一次射击成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛据此，显然应选择乙参加比赛在情
14、境2中，教练员可能会制订这样的标准，即标准2：以两名运动员10次射击成绩的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛甲射击成绩的众数是9环，乙射击成绩的众数是10环据此，选择乙参加比赛教练员也可能制订标准3：以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选择中位数较高者参赛甲射击成绩的中位数是9环，乙射击成绩的中位数是8.5环据此选择甲参加比赛教练员还可能制订标准4：以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选择平均数较高者参赛甲射击成绩的平均数是8.5环，乙射击成绩的平均数是8.6环据此，选择乙参加比赛在情境3中，教练员可能制订标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标
15、准差越小成绩越稳定甲射击成绩的标准差s甲0.92环，乙射击成绩的标准差s乙1.28环据此，选择甲参加比赛标准评价在这里，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的1(多选)下列对一组数据的分析，说法正确的是()A数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定解析：选ACD极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离
16、平均数越大，即波动越大，数据越不稳定方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否故选A、C、D.2在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A9.4，0.484B9.4，0.016C9.5，0.04 D9.5，0.016解析：选D9.5，s2(0.1240.22)0.016.3在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则高一年级全体学生身高的方差为_解析：把样本中男生的身高记为x1，x2，x23，其平均数记为，方差记为s；把样本中女生的身高记为y1，y2，y27，其平均数记为，方差记为s，把样本的平均数记为，方差记为s2.则165.2，s251.486 2，即样本的方差为51.486 2.因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2.答案：51.486 2
