1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求考情分析1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等2常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查3题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题. 知识点一直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二
2、次方程的判别式为.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形(2)弦长公式|AB|xAxB|.知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).两圆相交时公共弦的方程求法：设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实
3、数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()2小题热身(1)已知直线ymx与圆x2y24x20相切，则m值为(D)AB CD1(2)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为(B)A内切 B相交C外切 D相离(3)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围为3,1(4)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|2.(5)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为2.
4、解析：(1)将ymx代入x2y24x20，得(1m2)x24x20，因为直线与圆相切，所以(4)24(1m2)28(1m2)0，解得m1.(2)两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d4，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长
5、为1.x3时，切线长为1.方法技巧(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法：利用d与r的关系.代数法：联立方程之后利用判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.1(方向1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是(A)A相交 B相切C相离 D不确定解析：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2(y1
6、)25的内部，所以直线l与圆相交2(方向2)已知直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，C为圆心若ABC为等边三角形，则a的值为(D)A1 B1C. D解析：圆的方程可以化为x2(y3)23，圆心为C(0,3)，半径为，根据ABC为等边三角形可知ABACBC，所以圆心C(0,3)到直线yax的距离d，所以2a.3(方向2)已知aR且为常数，圆C：x22xy22ay0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点当ACB最小时，直线l的方程为2xy0，则a的值为(B)A2 B3C4 D5解析：圆的方程配方，得(x1)2(ya)21a2，圆心为C(1，a)，当弦AB长度最短时，
7、ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2xy0垂直，所以21，a3.4(方向3)若直线yxb与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是(D)A(1,1 BC，2 D(1,1解析：由x知，曲线表示半圆，如图所示，当1b1时，直线yxb与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时1(b1)，解得b.考点二圆与圆的位置关系命题方向1位置关系判定【例4】分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切【解】将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，则圆C1的圆心为C1
8、(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2，k50.从而|C1C2|5.当|1|51，即46，即14k34时，两圆相交当15，即k34时，两圆外切；当|1|5，即k14时，两圆内切所以当k14或k34时，两圆相切命题方向2 公共弦问题【例5】已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长【解】(1)证明：由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)
9、，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是(B)A内切 B相交C外切 D相离解析：圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.2(方向2)圆x2y24x4y10与圆x2y22x130相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为x2y60.解析：两个圆的方程两端相减，可得2x4y120.即x2y60.
