1、第三章不等式3.4 基本不等式本节主要学习基本不等式，应用基本不等式求最值是重点知识。利用数学家大会的徽标引入新课新颖有吸引力。从代数、数列、几何等方面研究均值不等式，开阔学生思路。用均值不等式求最值分为两个方面：一是直接利用基本不等式求最值。二是用配凑法进行恒等变形后求最值。巧用1的代换求值或证明使学生更加灵活的掌握均值不等式。这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a、b，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的
2、面积和小于正方形ABCD的面积,故a2+b22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2+b2=2ab.EHDABCFGabEH结论：1.如果xy1，则2x2y2的最小值是_2由不等式性质可知，对任意a，bR，(ab)2_0，因此a2b2_2ab，当且仅当_时，取等号答案：ab证明:a2+b2 2ab=(a b)2当 a b时,(a b)2 0;当a=b时,(a b)2=0所以(a b)20,即 a2+b22ab分别用代替引例中的a,b,即可得引例：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。基本不等式的代数解释上述不等式中a和b的
3、取值范围是（），当且仅当（）时“=”成立。基本不等式成立的条件是（）当且仅当（）时“=”成立2.填空：如何由1）得2）？如何由1）得3）？zxxka0,b0a=b任意实数a=b例2、如右图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy24的前提下求4x6y的最小值因
4、此，使用均值定理解决已知a0,b0,则(1)如果积ab是定值p，由a+b,那么当且仅当_时，a+b有最_值是_.(2)如果和a+b是定值p,由ab(,那么当且仅当_时,ab有最_值是_.大a=b小a=b积定和最小,和定积最大。利用不等式求函数的最值例3、求函数的值域.分类讨论变式2、求下列各题的最值.（1）x3,求的最小值；（2）x1，求的最小值；（1）x3,求的最小值；解析：当且仅当即x=5时“=”成立改变常数项，凑成积为定值凑定值所以函数的最小值为7.（2）x1，求的最小值；解析：当且仅当时“=”成立分离常数，拆项凑成积为定值凑定值所以函数的最小值为变形技巧：用“1”的代换分析：要求xy的
5、最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等方法总结:本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)1.已知a0,b0，则a+2b的最小值为（）A.B.C.D.14 A2.已知 x ,则函数 y=的最小值是.53.已知t0,则的最小值为.-21.基本不等式及其变形。3.凑定值时常用的变形方法。2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。课后练习课后习题
