1、第六章不等式、推理与证明第四节 基本不等式基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.备考知考情本节主要考查利用基本不等式求函数的最值若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知识梳理知识点一基本不等式1.基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.
2、(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数abab2ab知识点二利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则1如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当时，xy 有最值是(简记：积定和最小)2如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当时，xy 有最值是(简记；和定积最大)xy小2 pxy大s242几个重要的不等式(1)重要不等式：a2b2 (a，bR)当且仅当 ab时取等号(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab
3、时取等号.2ab对点自测知识点一基本不等式1.判一判(1)abab22 成立的条件是 ab0.()(2)函数 f(x)cosx 4cosx，x(0，2)的最小值等于 4.()(3)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()(4)若 a0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.()答案(1)(2)(3)(4)2下列结论中不正确的是()Aa0 时，a1a2 B.baab2Ca2b22abDa2b2ab22解析 baab2，只有当a，b同号且不为零时成立，故baab2不一定成立答案 B知识点二利用基本不等式求最值3.若x54，则f(x)4x14x5的最小值为()A3 B2C5 D7解析 f(x)4x
4、14x54x514x55.x54，4x50，4x514x52.故f(x)257，等号成立的条件是x32.答案 D4已知0 x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析 由0 x0，则x(33x)13 3x(33x)139434，当且仅当3x33x，即x12时等号成立答案 B5若正数a，b满足1a4b2，则ab的最小值为_解析 ab(ab)1(ab)12a2b122 b2a2ab 122292.答案 92研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问 题 探 究问题1 两个不等式取等号的条件是当且仅当“ab”，应怎样理解这句话？两个不等式取等号的条件是当且仅当
5、“ab”时，应理解为：“当”就是ab时，a2b22ab；“仅当”指的是a2b22ab时，ab.也就是ab是a2b22ab的充要条件问题2 应用基本不等式求最值应满足的条件是什么？一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致高 频 考 点考点一利用基本不等式证明不等式【例1】设a，b，c均为正数，且abc1.求证：(1)abbcac13；(2)a2b b2c c2a1.【思维启迪】(1
6、)由基本不等式a2b22ab易证；(2)由a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c相加可证听 课 记 录(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.3(abbcca)1，即abbcca13.(2)a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.a2b b2c c2a1.【规律方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见
7、的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等变式思考 1 已知a0，b0，c0，且abc1，求证：1a1b1c9.证明 a0，b0，c0，且abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc 32229，当且仅当abc13时，取等号考点二利用基本不等式求最值【例2】(1)(2014重庆卷)若log4(3a4b)log2 ab，则ab的最小值是()A62 3B72 3C64 3D74 3(2)设0 x2，则函数y x42x的最大值为_(3)4a2a的取值范围为_听 课 记 录(1)由log4(3a4b)log2 ab，
8、得12log2(3a4b)12log2(ab)，所以3a4bab，即3b4a1.所以ab(ab)3b4a 3ab 4ba 74 37，当且仅当3ab4ba，即a2 34，b32 3时取等号(2)0 x0，y x42x 2 x2x 2x2x2 2，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y x42x的最大值为 2.(3)显然a2，当a2时，a20.4a2a 4a2(a2)22 4a2a226，当且仅当 4a2a2，即a4时取等号当a2时，a2b0，ab1，则 a2b2ab 的最小值为_解析(1)(abc)2a2b2c22ab2ac2bc82ab2ac2bc.a2b22ab，a2c22ac，
9、b2c22bc，82ab2ac2bc2(a2b2c2)824，当且仅当abc时取等号，abc2 6.(2)ab0，ab0.a2b2ab ab22abab(ab)2ab2 ab 2ab2 2.当且仅当(ab)2ab，即ab 2时等号成立答案(1)D(2)2 2考点三基本不等式的实际应用【例3】某种商品原来每件定价为25元，年销售量8万件(1)据市场调查，若每件商品的价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高每件商品的价格到x元公司拟投
10、入 16(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 15 x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价听 课 记 录(1)设该商品每件定价为t元，依题意，有8t2510.2 t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850 16(x2600)15 x有解，等价于x25时，a150 x 16x15有解 150 x 16 x2 150 x 16x 10(当且仅当x30时
11、，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元【规律方法】(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解变式思考 3(2014湖北卷)某项研究表明：在考虑自行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的
12、值有关，其公式为F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时解析(1)l6.05，则F76 000vv218v121 76 000v18121v，由基本不等式v121v 2 12122，得F76 00022181 900(辆/小时)(2)l5，F76 000vv218v10076 000v18100v，由基本不等式v100v 2 10020，得F76 00020182 000(辆/小时)，增加2 0001 900100(辆/小时)答案(1)1 900(2)100拓思维 提
13、能力 启智培优T 特色专题感悟提高易错警示系列之(八)多次使用基本不等式忽视成立条件致误在利用基本不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致，否则得到的结果很可能不是要求的最值【典例】已知两正数x，y满足xy1，则z x1xy1y的最小值为_【错解】误解1：x1x2，y1y2，zx1x y1y 4.误解2：xy 1xy2，yxxy2，zx1x y1y xy 1xyyxxy224.【错解分析】处：两次利用基本不等式，等号成立的条件是xy1，与xy1不符；处：两次利用基本不等式，第一个等号成立的条件是xy1，第二个等号成立的条件是xy.若两
14、个等号同时成立，则有xy1，与xy1不符【规范解答】z x1x y1y xy 1xyyxxyxy 1xyxy22xyxy 2xyxy2，令txy，则0txyxy2214，由f(t)t2t在0，14 上单调递减，故当t14时，f(t)t2t有最小值334，所以当xy12时，z有最小值254.【答案】254对应训练1若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.245B.285C5 D6解析 由x3y5xy可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 95453x5y12y5x 135 125 5当且仅当3x5y12y5x 时，等号成立，3x5y的最小值是5.答案 C2已知a、b都是正实数，函数y2aexb的图象过点(0,1)，则1a1b的最小值是_解析 依题意得2ae0b2ab1，1a1b1a1b(2ab)3ba2ab 32 ba2ab 32 2，当且仅当ba2ab，即a1 22，b 21时取等号，因此1a1b的最小值是32 2.答案 32 23已知正实数x，y满足xy1，则 xyyyxx的最小值为_解析 依题意知，xyyyxx1 y2x x2y 122y2x x2y 4，当且仅当xy1时，等号成立，故xyy yxx 的最小值为4.答案 4
