1、第二章函数、导数及其应用第四节函数的奇偶性与周期性基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.备考知考情1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题3.多以选择题、填空题的形式出现.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识 梳 理知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地
2、，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数2一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数3奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称.f(x)f(x)f(x)f(x)原点y轴知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性2若f(x)是奇函数，且在x0处有定义，则.3若f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|).相同相反f(0)0知识点三函数的周期性1.周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)，那么就称函
3、数yf(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期f(x)最小最小对 点 自 测知识点一函数奇偶性的概念1.判断下列说法是否正确(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()答案(1)(2)2函数f(x)1xx的图象关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析 f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x)1x(x)1xx f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案 C3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的
4、偶函数，那么ab的值是()A13B.13C.12D12解析 依题意b0，且2a(a1)，b0且a13，则ab13.答案 B知识点二奇函数、偶函数的性质4.判断下列说法是否正确(1)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x21x，则f(1)2.()(3)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是2，2()答案(1)(2)(3)知识点三函数的周期性5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f x32，且f(1)2，则f(
5、2 014)_.解析 f(x)fx32，f(x3)fx32 32 fx32f(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(67131)f(1)2.答案 26若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.解析 f(8)f(53)f(3)f(35)f(2)f(2)2，f(14)f(151)f(1)f(1)1，所以f(8)f(14)2(1)1.答案 1研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问 题 探 究问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一
6、个必要条件(2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)、f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)问题2 奇函数与偶函数的图象有什么特点？奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性问题3 关于函数的周期性有哪些常见结论？对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)1fx，则T2a；(3)若f(xa)1fx，则T2a.(a0)高 频 考 点考点一函数奇偶性的判断【例1】(2014新课标全国卷
7、)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数听 课 记 录 由题意，知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于A选项，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)为奇函数，故A错误；对于B选项，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)为偶函数，故B错误；对于C选项，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|为奇函数，故C正确；对于D选项，|f(x)g(x)|f(x)g(x)
8、|，|f(x)g(x)|是偶函数，故D错误答案 C【规律方法】判断函数奇偶性除利用定义法和图象法，应学会利用性质，具体如下：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶(3)“奇偶”是奇，“奇偶”是奇变式思考 1(1)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)已知函数f(x)x2x1x21，若f(a)23，则f(a)()A.23B23C.43D43解析(1)因为f
9、(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.(2)根据题意，f(x)x2x1x21 1xx21，而h(x)xx21是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)22343.答案(1)B(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)(2014湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C1 D3(2)(2014新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_听 课 记 录(1)因为f(x)，g(x)
10、分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)f(1)，g(1)g(1)因为f(x)g(x)x3x21，所以f(1)g(1)(1)3(1)211，即f(1)g(1)1.故选C.(2)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(x1)0可化为f(|x1|)0.因为f(x)在0，)上单调递减，且f(2)0，所以|x1|2，即2x12，解得1x0时，f(x)x2x，则f(x)的解析式为_解析(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0，即ax2(2a2a1)x1ax2(2a2a1)x10.亦即(2a2a1)x0，又因为对xR恒成立，所以2a2a10，解得a1或12.(2
11、)由已知得f(0)0，当x0，而x0时，f(x)x2x，所以f(x)x2x，又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以得f(x)x2x，综上可知f(x)x2x，x0.答案(1)C(2)f(x)x2x，x0考点三函数的周期性及其应用【例3】已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)的值听课记录(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x
12、)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1，又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.【规律方法】判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其它性质综合命题，是高考考查的重点问题变式思考 3(1)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为
13、()A奇函数B偶函数C增函数D周期函数(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.解析(1)由图象可知选D.(2)因为T2，则f(x)f(x2)，又f(1)f(12)f(1)，因为x1,3)时，f(x)x2，所以f(1)f(1)121.答案(1)D(2)1拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高易错警示系列之(二)忽视定义域致函数奇偶性问题出错【典例】(1)若函数f(x)k2x1k2x 在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)x21，x0，1，xf(2x)的x的取值范围是_【易错分析】(1)解中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0
14、)0得k1.(2)小题易出现以下错误由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误【规范解答】(1)f(x)k2x1k2xk2x12xk，f(x)f(x)k2x2xkk2x11k2x1k2x2xk k2122x11k2x2xk.由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2)画出f(x)x21，x0，1，xf(2x)，则1x20，1x22x，即1x1，1 2x1 2，得x(1，21)【答案】(1)1(2)(1，21)【名师点评】(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：抓住对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并还是交对应训练1若函数f(x)x2x1xa为奇函数，则a()A.12 B.23 C.34 D1解析(特殊值法)由已知f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即1211a1211a，所以a13(1a)，解得a12.答案 A2奇函数f(x)的定义域为2,2，若f(x)在0,2上单调递减，且f(1m)f(m)0，则实数m的取值范围是_解析 因为奇函数f(x)在0,2上单调递减，所以函数f(x)在2，2上单调递减由f(1m)f(m)0得f(1m)m，得2m2，3m1，m12，所以12m1，故实数m的取值范围是12，1.答案 12，1
