1、课时2 验证并应用勾股定理过基础教材必备知识精练1.教材P7习题1.2T2变式历史上对勾股定理的一种证法采用了下面的图形,其中两个全等的直角三角形的边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是()A.SEDA=SCEBB.SEDA+SCEB=SCDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.SEDA+SCDE+SCEB=S四边形ABCD知识点1 验证勾股定理答案2.用如图1所示的四个完全一样的直角三角形可以拼成如图2所示的大正方形.解答下列问题:(1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积.方法1:.方法2:.(2)根据图2及图形的面积关系,推导a,b,c之间满足的关系式.(3)利
2、用(2)的关系式解答:如果大正方形的面积是25,且(a+b)2=49,求图2中小正方形的面积.知识点1 验证勾股定理答案3.2021成都龙泉七中月考如图,韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30的方向行走了4 000 m到达超市(记作B),再从超市出发向南偏东60的方向行走3 000 m到达卢飞同学家(记作C),则韩彬家到卢飞家的直线距离为()A.2 000 mB.3 000 mC.4 000 mD.5 000 m知识点2 勾股定理的简单应用答案3.D如图,连接AC.依题意,得ABC=90,AB=4 000 m,BC=3 000 m,则由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=4 0002+3 00
3、02=5 0002,所以AC=5 000 m.4.2022汉中期末如图,在高为3米、斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度为()A.4米B.5米C.6米D.7米知识点2 勾股定理的简单应用答案4.D在RtABC中,AC2=AB2-BC2=42,所以AC=4米,所以地毯的长度为AC+BC=7米.5.2022济南济阳区期中如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC的长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC的位置,此时露在水面上的鱼线BC的长为8 m,则BB的长为()A.1 mB.2 mC.3 mD.4 m知识点2 勾股定理的简单应用答案5.B因为AC=10
4、m,BC=6 m,所以AB2=AC2-BC2=102-62=82,所以AB=8 m.因为AC=10 m,BC=8 m,所以AB2=AC2-BC2=102-82=62,所以AB=6 m,所以BB=AB-AB=8-6=2(m).6.2022青岛市北区期末如图,某学校(记作A)到公路(直线l)的距离为300 m,到车站(记作D)的距离为500 m,现要在公路边上建一个商店(记作C),使其到学校A及到车站D的距离相等,则商店C与车站D之间的距离是m.知识点2 勾股定理的简单应用答案6.312.5如图,过点A作ABl于点B,由题意,知AB=300 m,AD=500 m,在RtABD中,BD2=AD2-A
5、B2=4002,所以BD=400 m.设CD=x m,则AC=x m,CB=(400-x)m,在RtABC中,根据勾股定理,得x2=(400-x)2+3002,解得x=312.5,即商店C与车站D之间的距离为312.5 m.7.教材P6随堂练习变式2022枣庄峄城区期中如图,有一只喜鹊在一棵3 m高的小树顶觅食,它的巢筑在距离该树24 m远的一棵大树上,大树高14 m,且巢离树顶部1 m,当它听到巢中幼鸟的叫声时,立即赶过去,如果它飞行的速度为5 m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?知识点2 勾股定理的简单应用答案7.解:示意图如图所示,过点A作AECD于点E.由题意知AB=3 m,C
6、D=14-1=13(m),BD=24 m,则CE=13-3=10(m),AE=24 m.在RtAEC中,AC2=CE2+AE2=102+242,故AC=26 m,则265=5.2(s).答:它至少需要5.2 s才能赶回巢中.过能力学科关键能力构建过能力学科关键能力构建1.新情境2022佛山顺德区期末下面图形(图中长方形都是正方形)能够验证勾股定理的有()A.4个B.3个C.2个D.1个过能力学科关键能力构建答案过能力学科关键能力构建2.2022南阳卧龙区期末如图,一条小巷的左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动
7、,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为()A.2.7米 B.2.5米 C.2米D.1.8米答案2.A如图,在RtADE中,AED=90,AE=0.7米,DE=2.4米,所以AD2=AE2+DE2=0.72+2.42,所以AD=2.5米,所以AC=2.5米.在 RtABC 中,ABC=90,BC=1.5米,所以AB2=AC2-BC2=2.52-1.52,所以AB=2米,所以BE=AE+AB=2.7米,即小巷的宽度为2.7米.过能力学科关键能力构建3.2022南京鼓楼区四校联考勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别
8、向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小的两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和答案3.C设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a,由勾股定理,得c2=a2+b2,所以阴影部分的面积为c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c).因为较小的两个正方形重叠部分的宽为a-(c-b),长为a,所以较小的两个正方形重叠部分的面积为 a(a+b-c),所以知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小的两个正方形重叠部分的面积.过能力学
9、科关键能力构建答案过能力学科关键能力构建5.数学文化2022株洲期末在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度AB为1尺,将它往前水平推送10尺,即 AC=10尺时,秋千的踏板离地的垂直高度AD就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为.答案过能力学科关键能力构建6.教材P7习题1.2T4变式勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,
10、当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明a2+b2=c2.请你写出证明过程.答案过能力学科关键能力构建7.在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若ACB=90,如图1所示,根据勾股定理,得a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图2和图3所示.请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.答案7.解:若ABC是锐角三角形,则a2+b2c2.若ABC是钝角三角形,C为钝角,则a2+b20,x0,所以2ax0,所以a2+b2c2.当ABC是钝角三角形,C为钝角时,证明如下:在题图3中,过点B作BDAC,交AC的延长线于点D.设CD=x,则BD2=a2-x2.在RtABD中,根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即a2+b2+2bx=c2,因为b0,x0,所以2bx0,所以a2+b2c2.
