1、2014-2015学年山东省济宁一中高三（上）12月月考数学试卷（理科） 一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U=R，A=x|x1，B=x|x22x0，则U（AB）=（）Ax|x2Bx|x1Cx|0x1Dx|0x22已知=a+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A4B4C10D103若是第三象限角，且tan=，则cos=（）ABCD4已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）Am+n=1Bm+n=1Cmn=1Dmn=15在正项等比数列an中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11
2、的值是（）A10000B1000C100D106已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD8ABC中，A=90，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=，=（1），R若=2，则=（）ABCD29x，y满足约束条件，若z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B1或C2或1D2或110对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=
3、mn则在此定义下，集合M=（a，b）|ab=16中的元素个数是（）A18B17C16D15二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上）11曲线y=2sinx（0x）与直线y=1围成的封闭图形的面积为12过点（3，1）作圆（x2）2+（y2）2=4的弦，其中最短的弦长为13在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b=14过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=15给出下列命题：函数y=在区间1，3上是增函数；函数f（x）=2xx2的零点有3个；不等式|x+1|+|x3|a恒
4、成立，则a4；已知a，bR+，2a+b=1，则8；=是函数y=sin（2x+）为偶函数的一个充分不必要条件其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n1+an（nN*），求bn的前n项和Tn17已知向量（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围18北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了
5、发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价19在长方体ABCDA1B1C1D1
6、中，AD=1，AA1=AB=2点E是线段AB上的动点，点M为D1C的中点（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME平面ADD1A1；（2）若二面角AD1EC的余弦值为求线段AE的长20已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程21已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1（）当时，求f（x）在区间上的最小值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当1a0时，有f（x）1+ln（a）恒成立，求a的取值范围2014-20
7、15学年山东省济宁一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U=R，A=x|x1，B=x|x22x0，则U（AB）=（）Ax|x2Bx|x1Cx|0x1Dx|0x2考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B并集的补集的并集即可解答： 解：由B中不等式解得：x22x0，得到B=x|x2或x0，全集U=R，AB=x|x1或x0，U（AB）=x|0x1故选：C点评： 此题考查了并、补集的混合运算，熟练
8、掌握各自的定义是解本题的关键2已知=a+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A4B4C10D10考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案解答： 解：=a+i，=a，=1，解得：b=7，a=3a+b=7+3=4故选：A点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题3若是第三象限角，且tan=，则cos=（）ABCD考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos 的值解答： 解：是第三象限角，且
9、tan=，sin2+cos2=1，cos0，且cos=，故选：C点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题4已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）Am+n=1Bm+n=1Cmn=1Dmn=1考点： 向量的共线定理专题： 平面向量及应用分析： 由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论解答： 解：由题意可得，故有 ，mn=1，故选C点评： 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题5在正项等比数列an中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（）A10000B1000C100D
10、10考点： 等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 正项等比数列an可得：由lga3+lga6+lga9=6，利用对数的运算法则可得lg（a3a6a9）=6，即，解得a6即可解答： 解：由正项等比数列an可得：lga3+lga6+lga9=6，lg（a3a6a9）=6，解得a1a11=104故选：A点评： 本题考查了等比数列的性质和对数的运算法则，属于基础题6已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 平面向量及应用分析： 由1（2
11、+m）22=0，即可得出解答： 解：=（1，2）+（3，m）=（2，2+m）由1（2+m）22=0，m=6因此“m=6”是“”的充要条件故选：A点评： 本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题7已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD考点： 双曲线的标准方程专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答： 解：双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，a2+b2=25，=1，b=，a=2双曲线的方程为故选：A点评： 本题考
12、查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8ABC中，A=90，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=，=（1），R若=2，则=（）ABCD2考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 据平面向量的线性运算，得到=（1），=，代入=2，并化简整理即可解得值解答： 解：由题意可得=0，因为=，=（1），所以=（1），=，代入=2，并化简整理得：（1）+（1）+1=2，即（1）4=2，解得 =，故选：A点评： 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算9x，y满足约束条件，若z=y2ax取得最大值的最优解
13、不唯一，则实数a的值为（）A或1B1或C2或1D2或1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=y2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a0，要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2xy+2=0平行，此时2a=2，即a=1若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，
14、要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y2=0，平行，此时2a=1，解得a=综上a=1或a=，故选：B点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论10对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn则在此定义下，集合M=（a，b）|ab=16中的元素个数是（）A18B17C16D15考点： 元素与集合关系的判断专题： 集合分析： 根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+
15、b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素解答： 解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16
16、，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；集合M的元素个数是7+8+2=17故选B点评： 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上）11曲线y=2sinx（0x）与直线y=1围成的封闭图形的面积为考点： 定积分专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 作出的图象，求出它们的交点分别为A（，1）和B（，1），由此可得所求面积为函数2sinx1在区间，上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答： 解：令2sinx=1（0x），即sinx=，可得x=或曲线y=2sin
17、x（0x）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx1）dx=（2cosxx）=（2cos）（2cos）=2故答案为：2点评： 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题12过点（3，1）作圆（x2）2+（y2）2=4的弦，其中最短的弦长为2考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出解答： 解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，=2，（3，1）在圆内，圆心到此点的距
18、离d=，r=2，最短的弦长为2=2故答案为：2点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键13在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b=6考点： 余弦定理的应用专题： 计算题；解三角形分析： 依题意，利用余弦定理即可求得b解答： 解：ABC中，a=6，c=4，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=36+16264=36b=6故答案为：6点评： 本题考查余弦定理的应用，属于基础题14过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|A
19、F|=3，则|BF|=考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；压轴题分析： 设AFx=，（0，）及|BF|=m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值解答： 解：设AFx=，（0，）及|BF|=m，则点A到准线l：x=1的距离为3得3=2+3coscos=，又m=2+mcos（）=故答案为：点评： 本题考查抛物线的定义的应用，考查计算能力15给出下列命题：函数y=在区间1，3上是增函数；函数f（x）=2xx2的零点有3个；不等式|x+1|+|x3|a恒成立，则a4；已知a，bR+，2a+b=1，则8；=是函数y=sin（2x+）为偶函数的一个充分不必要条件其中真命题的序号是（请将所有正确命题
20、的序号都填上）考点： 命题的真假判断与应用专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑分析： 化简函数y=，从而判断函数的单调性；作y2x与y=x2的图象，图象交点个数即为函数f（x）=2xx2的零点个数；|x+1|+|x3|几何意义是点x到点1与点3的距离之和，从而得解；由基本不等式可判断出9，8当然也成立；当=时，函数y=sin（2x+）=cos2x是偶函数，当=时，函数y=sin（2x+）也是偶函数；故是充分不必要条件解答： 解：函数y=在区间1，2上是增函数，2，3上是减函数，故错误；作y2x与y=x2的图象如右图，则函数f（x）=2xx2有3个零点，故正确；|x+1|+|x3
21、|几何意义是点x到点1与点3的距离之和，且点1与点3的距离为4；故若不等式|x+1|+|x3|a恒成立，则a4，故正确；已知a，bR+，2a+b=1，则=+=5+2（+）9（当且仅当a=b=时，等号成立），故正确；当=时，函数y=sin（2x+）=cos2x是偶函数，当=时，函数y=sin（2x+）也是偶函数；故=是函数y=sin（2x+）为偶函数的一个充分不必要条件，故正确故答案为：点评： 本题借命题真假性的判断同时考查了三角函数，基本不等式，不等式，绝对值不等式，函数的单调性及函数的图象的应用等，综合性很强，属于难题三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
22、步骤）16已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2n1+an（nN*），求bn的前n项和Tn考点： 数列的求和；数列递推式专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （）先求出公比，再求出求数列an的通项公式；（）利用分组求和，即可求bn的前n项和Tn解答： 解：（）设公比为q，由题意：q1，a1=1，则a2=q，a3=q2，S3=2S2+1，a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1解得：q=2或q=1（舍去），（4分）an=2n1（5分）（）bn=2n1+an=2n1+2n1（
23、7分）则=+=n2+2n1（10分）点评： 本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题17已知向量（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围考点： 余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题分析： （1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入
24、所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围解答： 解：（1）=（sinx，），=（cosx，1），sinx=cosx，即tanx=，则cos2xsin2x=cos2x2sinxcosx=；（2）f（x）=2（+）=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，a=，b=2，sinB=，由正弦定理=得：sinA=，ab，AB，A=，原式=sin（2x+），x0，2x+，1sin（2x+），则sin（2x+）即所求式子的范围为，点评： 此题考查了余弦定理，数量积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒
25、等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革
26、后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价考点： 根据实际问题选择函数类型专题： 综合题；函数的性质及应用分析： （1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x25时，不等式ax258+50+（x2600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解，利用基本不等式，我们可以求得结论解答： 解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x258，整理得t265t+1 0000，解得25t40所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意知当x25时，不等式ax258+50+（x2
27、600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解由于+x2 =10，当且仅当=，即x=30时等号成立，所以a10.2当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元点评： 解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义19在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2点E是线段AB上的动点，点M为D1C的中点（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME平面ADD1A1；（2）若二面角AD1EC的余弦值为求线段AE的长考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；
28、与二面角有关的立体几何综合题专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用分析： （1）取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，由已知条件推导出四边形MNAE为平行四边形，由此能证明直线ME平面ADD1A1（2）设AE=m，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，结合题设条件利用向量法能求出线段AE的长解答： （1）证明：取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，点M为D1C的中点，E点是AB中点，MN，AE，四边形MNAE为平行四边形，MEAN，AN平面ADD1A1，ME不包含于平面ADD1A1，直线ME平面ADD1A1（2）解：设AE=m，如图以DA为x轴，以DC为y轴，
29、以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（1，0，0），E（1，m，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），=（1，0，2），=（0，m，0），=（0，2，2），设平面AD1E的法向量为，则，设平面D1EC的法向量为=（x，y，z），则，=（2m，1，1），设二面角AD1EC的平面角为，二面角AD1EC的余弦值为，cos=，整理，得20m2116m+129=0，解得m=或m=（舍），线段AE的长为点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查线段落长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B
30、1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求
31、直线的斜率，则直线l的方程可求解答： 解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的方程为或点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目21已知函数f（x
32、）=lnx+（a+1）x2+1（）当时，求f（x）在区间上的最小值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当1a0时，有f（x）1+ln（a）恒成立，求a的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）当时，f（x）=+1，可得分别由f（x）0；由f（x）0解出，即可得出函数的单调性极值与最值（），x（0，+）对a分类讨论：当a+10，即a1时；当a0时；当1a0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出（）由（）知，当1a0时，fmin（x）=，f（x）1+ln（a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）1，解出即可解答： 解：（）当时，f（x）
33、=+1，f（x）的定义域为（0，+），由f（x）0 得；由f（x）0 得f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，f（x）min=（），x（0，+）当a+10，即a1时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增；当1a0时，由f（x）0，得，解得f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a0时，f（x）在（0，+）单调递增；当1a0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a1时，f（x）在（0，+）上单调递减（）由（）知，当1a0时，fmin（x）=，f（x）1+ln（a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）1，又1a0，a的取值范围为点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
