1、2016-2017学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1若集合A=x|x2+5x+40，集合B=x|x2，则A（RB）等于（）A（2，1）B2，4）C2，1）D2复数z=的实部为（）A2B1C1、D03从高一某班学号为150的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A2，11，23，34，45B5，16，27，38，49C3，13，25，37，47D4，13，22，31，404已知f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=x2x+a1，若，则a等于（）A3B2C1D05某几何体的三视图
2、如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD6若函数f（x）=2sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后经过点（，），则等于（）ABC0D7已知命题p：x（2，2），|x1|+|x+2|6，则下列叙述正确的是（）Ap为：x（2，2），|x1|+|x+2|6Bp为：x（2，2），|x1|+|x+2|6Cp为：x（，22，+），|x1|+|x+2|6Dp为真命题8若实数x，y满足不等式组且3（xa）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A2B1C2D19从焦点为F的抛物线y2=2px（p0）上取一点A（x0，y0）（x0）作其准线的垂线，垂足为B若|AF|=4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的
3、方程为（）Ay2=2xBy2=3xCy2=4xDy2=6x10已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m的取值范围是（）A（1，2+ln2B（1， +ln2Cln2，2）D（2， +ln2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知向量=（3，m），=（1，2），若=2，则m=12（x+3）（1）5的展开式中常数项为13如图是一个程序框图，则输出的n的值是14已知双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），圆F：（xc）2+y2=c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a，若圆F被直线l所截得的弦长为
4、c，则双曲线的离心率为15若函数f（x）=（xb）lnx（bR）在区间1，e上单调递增，则实数b的取值范围是三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为（1）若c=2，求sinC；（2）求ABC面积的最大值17如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形（1）求证：BC平面ACFE；（2）若AD=AE，求平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值18已知等比数列an的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列（nN*）（1）求a的值及数列an的通项公式；（2）若bn=（1an）log2
5、（anan+1），求数列的前n项和Tn19某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？20已知函数f（x）=axlnx，函数g（x）=bx3bx，aR且b0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2（1，2），使f（x1）+g（x2）
6、=0成立，求实数b的取值范围21已知F1（c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（a0）的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且PF2F1F2，|PF1|PF2|=（1）求椭圆G的方程；（2）直线l与椭圆G交于两个不同的点M，N（i）若直线l的斜率为1，且不经过椭圆G上的点C（4，n），其中n0，求证：直线CM与CN关于直线x=4对称（ii）若直线l过F2，点B是椭圆G的上顶点，是否存在直线l，使得BF2M与BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由2016-2017学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，
7、每小题5分，共50分）1若集合A=x|x2+5x+40，集合B=x|x2，则A（RB）等于（）A（2，1）B2，4）C2，1）D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+4）0，解得：4x1，即A=（4，1），B=（，2），RB=2，+），则A（RB）=2，1），故选：C2复数z=的实部为（）A2B1C1、D0【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，复数z=的实部为0故选：D3从高一某班学号为150的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，
8、采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A2，11，23，34，45B5，16，27，38，49C3，13，25，37，47D4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法【分析】求出系统抽样间隔，即可得出结论【解答】解：从学号为150的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样，间隔相同，故选D4已知f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=x2x+a1，若，则a等于（）A3B2C1D0【考点】函数奇偶性的性质【分析】由于f（x）是奇函数，可得f（x）=f（x），据此可求出f（1），可得结论【解答】解：当x0时，f（x）=x2x+a1，f（1）=21+a1，又函数f
9、（x）是奇函数，f（1）=f（1）=21+a+1=，a=3故选：A5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体【解答】解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V=+=故选B6若函数f（x）=2sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后经过点（，），则等于（）ABC0D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得出结论【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）（|）的图象向右平移
10、个单位后，得到的函数解析式为y=2sin（2x+），又所得图象经过点（，），即：=2sin（+），可得：sin（+）=，解得：=2k，kZ，或=2k+，kZ，|，=故选：A7已知命题p：x（2，2），|x1|+|x+2|6，则下列叙述正确的是（）Ap为：x（2，2），|x1|+|x+2|6Bp为：x（2，2），|x1|+|x+2|6Cp为：x（，22，+），|x1|+|x+2|6Dp为真命题【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定【分析】由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得p再由绝对值三角不等式，可得答案【解答】解：命题p：x（2，2），|x1|+|x+2|6，p为：x（2，2），|
11、x1|+|x+2|6，故A，B，C全错误；根据|x1|+|x+2|（x1）+（x2）|=3，故p为真命题，故D正确；故选：D8若实数x，y满足不等式组且3（xa）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A2B1C2D1【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（xa）+2（y+1）=3x+2y+23a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+23a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+23a=5，解得a=2故选：C9从焦点为F的抛物线y2=2px（p0
12、）上取一点A（x0，y0）（x0）作其准线的垂线，垂足为B若|AF|=4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为（）Ay2=2xBy2=3xCy2=4xDy2=6x【考点】抛物线的简单性质【分析】设B到直线AF的距离为BC=，求出cosBAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cosBAF=3，即可得出结论【解答】解：设B到直线AF的距离为BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sinBAF=，cosBAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cosBAF=3，p+|AD|=4，p=1，此抛物线的方程为y2=2x故选A10已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的
13、x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m的取值范围是（）A（1，2+ln2B（1， +ln2Cln2，2）D（2， +ln2）【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质【分析】在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围【解答】解：f（x）=e|x|，f（x2）=e|x2|，在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：由图可得：当x=1时，f（x2）=g（x）=e，当x=4时，f（x2）=e2g（x）=4e，当x4时，由f（x2）=ex2g（x）=4e5x得：e2x74，解得：xln2+，对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g
14、（x），则m（1， +ln2，故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知向量=（3，m），=（1，2），若=2，则m=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值【解答】解：向量=（3，m），=（1，2），若=2，则32m=5，m=1，故答案为：112（x+3）（1）5的展开式中常数项为43【考点】二项式系数的性质【分析】（1）5的展开式中通项公式Tk+1=（2）k，令=0，或1，解得k即可得出【解答】解：（1）5的展开式中通项公式Tk+1=（2）k，令=0，或1，解得k=0，或2（x+3）（1）5的展开式中常数
15、项=3+=43故答案为：4313如图是一个程序框图，则输出的n的值是5【考点】程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，S=1时，n=1；S=2时，n=2；S=时，n=4；S=10，n=5；终止循环，输出n=5故答案为：514已知双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），圆F：（xc）2+y2=c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a，若圆F被直线l所截得的弦长为c，则双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】设直线l的方程为y=（xa），利用圆F被直线l所截得的弦长为c，可得圆心F到直线l的距
16、离为=，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设直线l的方程为y=（xa），即axby=0圆F被直线l所截得的弦长为c，圆心F到直线l的距离为=，=，（ca）（c2a）=0，c=2a，e=2，故答案为215若函数f（x）=（xb）lnx（bR）在区间1，e上单调递增，则实数b的取值范围是（，1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令f（x）0在1，e上恒成立，对b进行讨论得出b的范围【解答】解：f（x）=lnx+=lnx+1，f（x）在1，e上单调递增，f（x）0在1，e上恒成立，若b0，显然f（x）0恒成立，符合题意，若b0，则f（x）=+0，f（x）=lnx+1在1，e上是增函数，f（x）f
17、（1）0，即b+10，解得0b1，综上，b的范围是（，1故答案为（，1三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为（1）若c=2，求sinC；（2）求ABC面积的最大值【考点】正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理可求2sinB=cosB，利用同角三角函数基本关系式可求tanB，进而可求sinB，由正弦定理即可求得sinC的值（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理，基本不等式可求ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）2sinA=acosB，b=，2sinB=cosB，即tanB=，sinB=，c=2，sinC
18、=（2）由（1）得cosB=，5=a2+c2ac2acac=ac，即有ac，可得：ABC面积的最大值为： =17如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形（1）求证：BC平面ACFE；（2）若AD=AE，求平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACBC，由此能证明BC平面ACFE（2）设AC与BD交点为O，连结FO，过C作CGFO，G为垂足，连结BG，则BGC为所求二面角的平面角，则平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值【解答】证明：（1）在梯形ABC
19、D中，AD=DC=CB=a，ABC=60， 四边形ABCD是等腰梯形，且DCA=DAC=30，DCB=120ACB=90，ACBC又平面ACF平面ABCD，交线为AC，BC平面ACFE解：（2）设AC与BD交点为O，连结FO，过C作CGFO，G为垂足，连结BG，由（1）得BC平面ACEF，则BGC为所求二面角的平面角，在RtABC中，BC=a，ABC=60，则AB=2a，AC=，ABDC，CD=a，则AO=2CO=a，AE=CF=a，FO=，则CG=，tanBGC=2，sinBGC=平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值为18已知等比数列an的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列（n
20、N*）（1）求a的值及数列an的通项公式；（2）若bn=（1an）log2（anan+1），求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）得bn=（1an）log2（anan+1）=（2n+1）（2n1），可得=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）2n+1，Sn，a成等差数列（nN*）2Sn=2n+1+a，当n=1时，2a1=4+a，当n2时，an=SnSn1=2n1数列an是等比数列，a1=1，则4+a=2，解得a=2，数列an的通项公式为an=2n1（2）由（1）得bn=（1an）log2
21、（anan+1）=（2n+1）（2n1），=，数列的前n项和Tn=+=19某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】（）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（）确
22、定DD，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大【解答】解：（）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=； 考生甲正确完成题数的分布列为123PE=1+2+3=2设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3P（=0）=；P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=考生乙正确完成题数的分布列为：0123PE=0+1+2+3=2（）因为D=，D=npq=所以DD综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大20已知函数f（x）=axlnx，函数g（x）=bx
23、3bx，aR且b0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设h（x）=f（x）在（1，2）上的值域是A，函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则AB，根据函数的单调性分别求出集合A、B，从而求出b的范围即可【解答】解：（1）f（x）=a=，（x0），当a0时，f（x）0，则f（x）在（0，+）递减，a0时，由f（x）0，得：x，由f（x）0得0x，f（x）在（0，）递减，在（，+
24、）递增；（2）对任意的x1（1，2），总存在x2（1，2），使得f（x1）+g（x2）=0，对任意的x1（1，2），总存在x2（1，2），使得g（x2）=f（x1），设h（x）=f（x）在（1，2）上的值域是A，函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则AB，当x（1，2）时，h（x）=0，即函数h（x）在（1，2）上递减，h（x）（ln22，1），g（x）=bx2b=b（x+1）（x1），当b0时，g（x）在（1，2）是减函数，此时，g（x）的值域是B=（b，b），AB，又b01，bln22，即bln23，当b0时，g（x）在（1，2）上是指数，此时，g（x）的值域是B=（b， b），AB，b
25、ln22，b（ln22）=3ln2，综上可得b的范围是（， ln233ln2，+）21已知F1（c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（a0）的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且PF2F1F2，|PF1|PF2|=（1）求椭圆G的方程；（2）直线l与椭圆G交于两个不同的点M，N（i）若直线l的斜率为1，且不经过椭圆G上的点C（4，n），其中n0，求证：直线CM与CN关于直线x=4对称（ii）若直线l过F2，点B是椭圆G的上顶点，是否存在直线l，使得BF2M与BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设|PF1|=m，|P
26、F2|=n由PF2F1F2，|PF1|PF2|=，可得m2=n2+4c2，mn=，m+n=2a，又a2=5+c2，解出即可得出（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得： =1，解得y，可得C（4，1）设直线l的方程为：y=x+m，kCM=k1，kCN=k2，M（x1，y1），N（x2，y2）直线方程与椭圆方程联立化为：5x2+8mx+4m220=0，0，k1+k2=+=，把根与系数的关系代入分子=0即可证明（ii）BF2M与BF2N的面积的比值为2，可得：|F1M|=2|F2M|，即y1=2y2，当直线l为x轴时，不和题意，舍去当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+，代入椭圆方程化为：（k2=4）
27、y2+2ky5=0，可得y1+y2=，y1y2=，由联立解出即可得出【解答】解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=nPF2F1F2，|PF1|PF2|=，m2=n2+4c2，mn=，m+n=2a，a2=5+c2，解得：a2=20，c2=15椭圆G的方程为=1（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得： =1，解得y=1，则C（4，1）设直线l的方程为：y=x+m，kCM=k1，kCN=k2，M（x1，y1），N（x2，y2）联立，化为：5x2+8mx+4m220=0，=64m220（4m220）0，解得5m5x1+x2=，x1x2=k1+k2=+=，分子=（x1+m1）（x24）+（x2+m1）（x14）=2x1x2+（m5）（x1+x2）+8（1m）=2+（m5）+8（1m）=0k1+k2=0，直线CM与CN关于直线x=4对称（ii）BF2M与BF2N的面积的比值为2，可得：|F1M|=2|F2M|，即y1=2y2，当直线l为x轴时，不和题意，舍去当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+，代入椭圆方程化为：（k2=4）y2+2ky5=0，y1+y2=，y1y2=，由联立解得k2=，即k=存在直线l的方程为：xy+=0，使得BF2M与BF2N的面积的比值为22017年3月11日
