1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置.3.掌握空间向量的坐标表示.4.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示.5.借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式.6.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、空间直角坐标系【问题思考】1.回忆我们以前学过的平面直角坐标系和平面向量的坐标运算,思考下列问题:(1)平面直角坐标系是由什么组成的?类比平面直角坐标系的构成,你能得出空间直角坐标系是由什么
2、组成的吗?提示:平面直角坐标系是由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成的.空间直角坐标系是由空间中三条两两垂直、原点重合的数轴组成的.(2)在平面向量中,根据单位正交基底,我们是怎样建立平面直角坐标系的x轴、y轴的?提示:在平面内选定一点O和一个单位正交基底i,j,以O为原点,分别以i,j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴,这样我们就建立了平面直角坐标系.(3)类似平面向量中直角坐标系的建立,我们怎样建立空间直角坐标系呢?提示:在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k.以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴
3、,这样我们就建立了空间直角坐标系.2.填空:空间直角坐标系(1)定义:在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k.以点O为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平面,它们把空间分成八个部分.(2)画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=135(或45),yOz=90.(3)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴
4、的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(5)空间向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).答案:(1)(1,1,0)(1,1,1)(2)(1,0,1)(0,1,1)(3)(0,0,1)(0,1,0)3.做一做:如图,在棱长为1的正方体中,写出下列各点和向量的坐标:(1)B,B;二、空间向量运算的坐标表示【问题思考】1.对于空间的一个单位正交基底i,j,k,有ii=jj=kk
5、=1,ij=ik=jk=0.设两个非零的空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),类比平面向量运算的坐标表示回答下列问题:(1)如何表示a+b,a-b,a(R)?提示:a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a=(a1,a2,a3).(2)如何根据向量数量积的运算律推导ab的坐标表示?提示:a=(a1,a2,a3)=a1i+a2j+a3k,b=(b1,b2,b3)=b1i+b2j+b3k,所以ab=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)=a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+a1b2ij+a1b3ik+
6、a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2kj=a1b1+a2b2+a3b3.2.填表:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).3.做一做:(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是()A.a+b=(10,-5,-6)B.a-b=(2,-1,-6)C.ab=10D.|a|=6(2)与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为()A.(1,7,5)B.(1,-7,5)C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)解析:(1)易验证A,B,C均不正确;(2)只有C选项中向量与a,b的数量积都为0.答案:(1)D(2)C三、空间两
7、点间的距离公式【问题思考】1.在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,根据空间向量运算的坐标表示回答下列问题:2.填空:设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一空间点、向量的坐标表示【例1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求:(1)点B,C1,B1,M,N的坐标
8、;探究一探究二探究三探究四易错辨析所以点B的坐标是(0,1,0).同理,点C1的坐标是(0,0,2).点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C,B,C1,它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2,所以点B1的坐标是(0,1,2).探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 1.建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的把直角边放在坐标轴上.2.求空间点、向量的坐标的一般步骤(
9、1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系;(2)运算:找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标;综合利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量;(3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标;将所求向量用已知的基向量表示出来确定坐标.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出各顶点的坐标;探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k.因为正方体的棱长为2,因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).同理可
10、得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究二空间向量的坐标运算(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)(p+q);(4)cos.分析:先由点的坐标计算得到向量p,q的坐标,然后再进行各种运算.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:因为A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)
11、=(4,3,15).(3)(p-q)(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-22+02+(-6)2=-26.反思感悟 1.一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法、减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练2】已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求:(1)a+b;(2)a-b;(3)ab;(4)2a(-b);(5)(a+b)(a-b).解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+
12、4)=(2,-2,2).(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6).(3)ab=(2,-1,-2)(0,-1,4)=20+(-1)(-1)+(-2)4=-7.(4)2a=(4,-2,-4),(2a)(-b)=(4,-2,-4)(0,1,-4)=40+(-2)1+(-4)(-4)=14.(5)(a+b)(a-b)=a2-b2=4+1+4-(0+1+16)=-8.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究三利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题探究一探究二探究三探究四易错辨析解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建
13、立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析1.若把本例中的PQAE改为B1QEQ,其他条件不变,则结果又是什么?探究一探究二探究三探究四易错辨析2.本例中若G是A1D的中点,点H在平面xDy上,且GHBD1,试判断点H的位置.探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断.应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线.判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用.适当引入参数(比如向量a,b平行,可
14、设a=b,其中R),建立关于参数的方程.选择坐标表示,以达到简化运算的目的.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练3】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:(1)AED1F;(2)AE平面A1D1F.探究一探究二探究三探究四易错辨析证明:设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,探究一探究二探究三探究四易错辨析由(1)知AED1F.D1A1D1F=D1,D1A1,D1F平面A1D1F,AE平面A1D1F.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究四利用向量的坐标运算解决夹角、距
15、离问题【例4】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.利用空间向量解决下列问题:(1)求EF与C1G所成角的余弦值;(2)求F,H两点间的距离.分析:建系Dxyz得各点的坐标数量积运算夹角、长度公式几何结论探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤:(1)建系:根据题目中的几何图形建立适当的空间直角坐标系;(2)求坐标:求出相关点的坐标;写出向量的坐标;(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算;(4)转化:转化为几何结论.探究一
16、探究二探究三探究四易错辨析【变式训练4】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,ACB=90,棱AA1=2,N为A1A的中点.试建立适当的空间直角坐标系,求:(1)BN的长;(2)A1B与B1C所成角的余弦值.解:以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.(1)由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析【易错辨析】转化不等价致误【典例】已知向量a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是()错解:因为a与b的夹角为钝角,所以ab=3(-1)+(-2)(x-1)+
17、(-3)1-2,所以x的取值范围是(-2,+).答案:A探究一探究二探究三探究四易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:空间向量a,b的夹角为钝角与ab0并不等价,ab0中包含着=180的情形.=180的情形,可利用a=b(0),也可利用ab=-|a|b|,即cos=-1求得.同样ab0也包含着=0的情形.解题时应把这种情况剔除.探究一探究二探究三探究四易错辨析正解:因为a与b的夹角为钝角,所以ab0,且180.由ab0,得(3,-2,-3)(-1,x-1,1)=3(-1)+(-2)(x-1)+(-3)1-2.若a与b的夹角为180,则存在0,使b=
18、a,即(-1,x-1,1)=(3,-2,-3).答案:B探究一探究二探究三探究四易错辨析防范措施 1.对题目中的条件要认真分析,找出一些隐含或限制条件,对题目条件进行等价转化,对于公式中的特殊情形要记清,不要漏掉;2.此类题目中夹角为钝角要在ab0中剔除夹角为0的情况.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析随堂练习1.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:点A在x轴上的射影的横坐
19、标不变,纵、竖坐标都为0,在xOy平面上的射影横、纵坐标不变,竖坐标为0,故应选B.答案:B2.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则pq=()A.-1B.1C.0D.-2解析:p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),pq=10+03+1(-1)=-1.答案:A3.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),kR,若ka-b与b垂直,则k=.解析:因为(ka-b)b,所以(ka-b)b=0,即kab-|b|2=0,答案:74.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1所成角的大小为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz.设正方体的棱长为2,则E(0,1,2),F(2,2,1),A1(0,0,0),C1(2,2,0),故异面直线EF与A1C1所成的角为30.答案:305.已知向量a=(+1,1,2),b=(6,2m-1,2).(1)若ab,求与m的值;(2)若|a|=,且a与c=(2,-2,-)垂直,求a.解:(1)由ab,知存在实数k,使得a=kb,即(+1,1,2)=k(6,2m-1,2),解得=-1.因此,a=(0,1,-2).
