1、？6.2.3向量的数乘运算？课标定位素养阐释1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.5.发展直观想象和数学运算的核心素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、向量的数乘运算【问题思考】1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出它们的长度和方向与向量a的长度和方向有什么关系.？2.向量的数乘？3.做一做:已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a与b的方向
2、相同D.a与b的方向相反解析:a=4b,40,|a|=4|b|.4b与b的方向相同,a与b的方向相同.答案:C？二、数乘运算的运算律【问题思考】1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.？提示:各式均是成立的(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.？2.(1)设,为实数,则:(a)=()a;(+)a=a+a;(a+b)=a+b(分配律).特别地,我们有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.(2)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算
3、统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a2b.？3.做一做:若a=b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为()A.-a B.-4bC.c D.a-b解析:3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=(3-2)a+(6-6-2)b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a.答案:A？三、共线向量定理【问题思考】1.若a=b,则a与b一定共线吗?提示:一定共线.2.若a与b共线,一定有a=b吗?提示:不一定.当b=0,a=0时,有无数个值;当b=0,a0时,无解;
4、当b0时,有唯一,使a=b.3.向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a.？4.做一做:(多选题)若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有()解析：A中,因为a=-b,所以a,b共线;B中,因为b=-2a,所以a,b共线;C中,因为a=4b,所以a,b共线;D中,因为不存在R,使a=b,所以a,b不共线.答案:ABC？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)对于任意向量a和任意实数,a与a一定是共线向量.()(2)向量a与a的方向不是相同就是相反.()(3)若向量a和b共线,则必有b=a.()(4)若向量a和b不共
5、线,且a=b,则必有=0.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 向量的线性运算分析:根据向量的线性运算法则求解.？向量的线性运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.？(2)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=ma-mb+na-nb-ma-mb+na+nb=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.？探究二 向量线性运算的综合应用【例2】在ABC中.？用已知向量表示待求向量的一般步骤:提醒:用已知
6、向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.？探究三 共线向量定理及其应用？本例(2)中,条件改为“欲使ke1+e2和e1+ke2共线且同向”,求实数k的值.解:ke1+e2与e1+ke2共线且同向,存在实数(0),使ke1+e2=(e1+ke2),则(k-)e1=(k-1)e2,由于e1与e2不共线,？1.证明三点共线的方法:2.根据向量共线求参数时,应熟记并能灵活运用“若非零向量e1,e2不共线,且e1=e2,则必有=0.”？【变式训练3】已知非零向量e1,e2不共线,且向量ke1-4e2和3e1-ke2反向共线,求实数k的值.解:因为向量ke1-4e2与3e1-ke2反向共线,所以存
7、在实数(0,所以2a与a的方向相同.又|2a|=2|a|,故A是真命题.因为50,所以5a与a方向相同,且|5a|=5|a|,因为-20,所以-2a与a的方向相反,|-2a|=2|a|,所以-2a与5a的方向相反,且模是5a的模的,故B是真命题.依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断,故C是真命题.因为a-b与b-a是一对相反向量,所以a-b与-(b-a)是一对相等向量,故D是假命题.故选ABC.答案:ABC？4.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,则实数k=.解析:e1,e2不共线,向量a,b不为0.又a,b共线,存在实数,使a=b,即2e1-e2=(ke1+e2)=ke1+e2.答案:-2？
