1、第9讲函数模型及其应用1特级教师王新敞源头学子了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.2特级教师王新敞源头学子1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)给出，其中m0,m是大于或等于m的最小整数(如4=4,2.7=3,3.8=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为()CA.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故选C.3特级教师王新敞源头学子2.在某种新型材料
2、的研制中,实验人员获得了如下一组数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()xx1.991.9933445.15.16.126.12yy1.51.54.044.047.57.5121218.0118.01BA.y=2x-2 B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=()x将各组数据代入验证，选B.4特级教师王新敞源头学子3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（）AA.10元B.20元C.30元D.
3、元5特级教师王新敞源头学子两种话费相差为y，根据几何关系可得y=y,=12,y=10，所以y=10.6特级教师王新敞源头学子4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（）CA.2 B.4 C.5 D.6平均利润=12-10=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故选C.7特级教师王新敞源头学子函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要
4、顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：8特级教师王新敞源头学子一 次 函 数 模 型:f(x)=+b(k、b为 常 数,k0);反比例函数模型：f(x)=+b(k、b为常数,k0);二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k0,a0且a1);9特级教师王新敞源头学子对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、
5、a为常数,m0,a0且a1);幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a0,n0);“勾”函数模型：f(x)=x+(k为常数,k0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.10特级教师王新敞源头学子题型一 函数模型的选择例1扇形的周长为c(c0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？11特级教师王新敞源头学子当r=时，Smax=,此时|=2.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为.(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r .面积S=lr=
6、(c-2r)r=(-r)r(0r ),12特级教师王新敞源头学子当且仅当=，即=2时，等号成立.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为.(方法二)因为c=l+2r=r+2r,所以r=.所以S=r2=()2=.13特级教师王新敞源头学子(1)虽然问“为多少时”，但若以为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.14特级教师王新敞源头学子(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出
7、时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.15特级教师王新敞源头学子题型二 已知函数模型求参数值例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰好相等,求：16特级教师王新敞源头学子(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，解得2e-5m=1m=ln2.所以
8、y1=ae .当y1=时,有=aet=15(分钟).所以经过15分钟木桶1的水是.（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；（2）经过多少分钟，木桶1中的水是升?已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解.17特级教师王新敞源头学子题型三 给出函数模型的应用题例3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为 时 间 t(天)的 函 数,且 销 售 量 近 似 满 足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20-|t-10|（元）.(1)试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y与 时 间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的
9、日销售额y的最大值与最小值.18特级教师王新敞源头学子(1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20-|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)=(30+t)(40-t)(0t10)(40-t)(50-t)(10t20).(2)当0t10时,y的取值范围是1200,1225.在t=5时,y取得最大值为1225；当10t20时,y的取值范围是600,1200,在t=20时，y取得最小值为600.答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元.19特级教师王新敞源头学子阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方
10、法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.20特级教师王新敞源头学子1.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.21特级教师王新敞源头学子3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.22特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！23特级教师王新敞源头学子
