1、第24讲任意角的三角函数、同角公式与诱导公式1特级教师王新敞源头学子知识体系2特级教师王新敞源头学子1.了解任意角与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.3特级教师王新敞源头学子4.能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式.5.能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的化简、求值、证明.4特级教师王新敞源头学子1.下列说法正确的是()BA.若的终边在第一象限，则可以是正角、负角或零角B.6360+（为角度）与-6+(为弧度)的终边相同,但大小不相等C.
2、一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为D.若为第二象限角,则2n+2n+，nZ2p5特级教师王新敞源头学子选项A中零角一定为坐标轴上角，故错；由终边相同概念和角度与弧度互化知，B正确；选项C中弧度数还可能为；D中由第二象限角范围得n+n+，nZ，故错.2p6特级教师王新敞源头学子2.若角的终边经过点P（3a,-4a)(a0)，则sin的值为()DA.-B.C.-D.P(3a,-4a)（a0)，则x=3a，y=-4a，则|OP|=5|a|=-5a，故sin=.7特级教师王新敞源头学子3.已知x为第二象限角，且tan2x+3tanx-4=0，则=.tan2x+3tanx-4=0，则t
3、anx=-4或tanx=1（舍去）.由同角公式得=.8特级教师王新敞源头学子=-+原式=tan(360-60)+=-tan60+=.4.tan300+的值为.9特级教师王新敞源头学子5.化简：若为第二象限角，则-=.-2tan原式=-2tan.10特级教师王新敞源头学子1.角的概念的推广(1)任意角、正角、负零和零角.(2)象限角、轴线角.(3)终边相同的角:可以用.表示.k360+(kZ)或k2+(kZ)11特级教师王新敞源头学子2.任意角的三角函数P（x,y）为 角 终 边 上 一 点，|OP|=r，则sin=，cos=，tan=（x0）.3.同角三角函数关系式平方关系：sin2+cos2
4、=.商数关系：tan=.112特级教师王新敞源头学子4.诱导公式(1)2k+,-,的三角函数值等于的函数值,前面加上把角看成时的符号.即“名称不变,符号看象限”.(2)的三角函数值等于的.函数值，前面加上把看成.时.的符号.即“名称要变，符号看象限”.(3)k（kZ）的三角函数值，可概括为：“奇变偶不变，符号看象限”.同名锐角原函数值10 余名11锐角12 原函数值13特级教师王新敞源头学子题型一 角的相关概念及角的度量互化例1(1)集合M=x|x=180+45,kZ,N=x|x=180+45,kZ,则集合M与N的关系为；M N14特级教师王新敞源头学子(2)把-1305化为2k+(02,kZ
5、)的形式是()A.-7-B.-6-C.-8+D.-9+C(1)先变形，再对整数k的奇、偶展开讨论，找到角终边的具体位置，用数形结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写成2k+的形式，满足、k的限制条件.15特级教师王新敞源头学子(1)因为M=x|x=(2k+1)45，kZ表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合.同理N=x|x=(k+1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，所以M N.(2)因为1305=1305 =7+,所以-1305=-7-=-8+(-)=-8+.此时k=-4,=，故选C.16特级教师王新敞源头学子探寻以集合形式表示的终边相同的角的关系时，对整数k的
6、讨论最关键；若题中给出了(m为已知整数，kZ)，常分k=mk，mk+1，mk+2，mk+(m-1)(kZ)完全讨论，角度与弧度的互化，除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁性：角度、弧度要“分家”.17特级教师王新敞源头学子题型二 三角函数的化简、求值例2 已知cos=-，且，求的值.从 cos=-中 可 推 知 sin，tan的值，再用诱导公式即可求值.18特级教师王新敞源头学子因为cos=-，且，所以sin=，tan=-,所以原式=-tan=.19特级教师王新敞源头学子(1)应用诱导公式进行三角函数的化简，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，解
7、题思路是“化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角”，即“去负脱周化锐”三步.(2)掌握常用的勾股数组“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”，“8，15，17”，“9，40，41”，快速给值求值.20特级教师王新敞源头学子题型三 三角关系式的应用已知sin(-)，cos是方程3x2-x+m=0的两个根，且.(1)求m与sin-cos的值；(2)若f(tan)=3sin2-2sincos-3，求f(cos-sin)的值.例321特级教师王新敞源头学子（1）由 根 与 系 数 的 关 系 得sin+cos，sincos的 值，再 根 据“sin+cos，sincos,sin-
8、cos”中“知一求二，知二求参”，配上公式正确求值.（2）先求出f(x)的表达式，再代值求值.22特级教师王新敞源头学子（1）依题意 sin(-)+cos=sin(-)cos=，即 sin+cos=sincos=,由2-2=1,得()2-2 =1,解得m=-.又因为 0,cos0,所以sin-cos=.23特级教师王新敞源头学子(2)因为f(tan)=3sin2-2sincos-3=-3=-3.所以f(cos-sin)=f(-)=-3 =-.24特级教师王新敞源头学子(1)在“sin+cos,sincos,sin-cos”中“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换,常用结论为：(sincos)
9、2=12sincos，(sin+cos)2+(sin-cos)2=2；(sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos.(2)型如通过分子分母同除以cos,弦化切、异名化同名；asin2+bsincos+ccos2通 过 添 分 母(sin2+cos2),再分子、分母同除以cos2，化弦为切、统一函数名.25特级教师王新敞源头学子1.在求值与化简时，常用的方法有：弦切互化，主要公式为tanx=,sinx=tanxcosx；和积互化,利用(sinxcosx)2=12sinxcosx的关系进行变形、转化；26特级教师王新敞源头学子巧用“1”的变换：1=sin2x+cos2x.2.在求值、化简时，要细心观察三角函数式的特征，灵活、恰当地选用公式.思路一:切化弦，思路二:化为同名函数.3.运用诱导公式的关键在于函数名称与符号的正确判断和使用.27特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！28特级教师王新敞源头学子
