1、3.3三角函数的积化和差与和差化积 学习目标1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用知识链接两角和与差的正弦、余弦公式是推导积化和差与和差化积公式的基础：sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_.预习导引积化和差公式与和差化积公式(不要求记忆)积化和差公式sin cos sin()sin()cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()
2、sin sin cos()cos()和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 要点一利用积化和差与和差化积公式化简求值例1求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.解sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40sin 50sin 50.规律方法套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同
3、名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来跟踪演练1求值：cos 10cos 30cos 50cos 70.解原式(cos 60cos 40)cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110cos 30.要点二积化和差与和差化积公式的应用例2已知ABC，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos.证明左边sin(BC)2sincos2sincos2sincos2cos2cos 2sincos4sinsincos右边原式成立规律方法在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系跟踪演练
4、2求证：tan tan .证明方法一tan tan .原式成立方法二tan tan .原式成立要点三三角恒等变换的实际应用例3点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？解如图所示，AB为直径，APB，又AB1，PAcos ，PBsin .又PT切圆于P点，TPBPAB，S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)sin.0，2，当2，即时，S四边形ABTP最大规律方法解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有
5、关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围跟踪演练3某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解连接OC，设COB，则045，OC1.ABOBOAcos ADcos sin ，S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos(245).当2450，即22.5时，Smax(m2)割出的长方形桌面的最大面积为 m2.1下列等式错误的是()Asin(AB)sin(AB)2sin Acos BBsin(AB)sin(AB)2cos
6、 Asin BCcos(AB)cos(AB)2cos Acos BDcos(AB)cos(AB)2sin Acos B答案D解析由两角和与差的正弦、余弦公式展开左边可知A、B、C正确2sin 15cos 165的值是()A. B. C D答案C解析sin 15cos 165sin 15cos(18015)sin 15cos 15sin 30，故选C.3sin 105sin 15等于()A. B.C. D.答案C解析 sin 105sin 152sincos2sin 60cos 45.4在ABC中，若B30，求cos Asin C的取值范围解由题意得cos Asin Csin(AC)sin(AC
7、)sin(B)sin(AC)sin(AC)1sin(AC)1，sin(AC)，cos Asin C的取值范围是.1.学习三角恒等变换， 千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos()即可2和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系一、基础达标1sin 70cos 20sin 10sin 50的值为()A. B. C. D.答案A解析sin 70cos 20sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40.2cos 72
8、cos 36的值为()A32 B.C D32答案C解析原式2sinsin2sin 54sin 182cos 36cos 722.3在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形答案B解析由已知等式得cos(AB)cos(AB)(1cos C)，又ABC.所以cos(AB)cos(C)1cos C.所以cos(AB)1，又AB，所以AB0，所以AB，故ABC为等腰三角形4函数ysincos x的最大值为()A. B. C1 D.答案B解析ysincos xsinsinsin.ymax.5cos275cos215cos 75cos
9、15的值等于_答案解析ysin215cos215cos 75cos 151(cos 90cos 60).6已知，且cos cos ，则cos()等于_答案解析cos cos 2coscos2coscoscos，cos()2cos2121.7已知函数f(x)4cos xsin1.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)当x时，求函数f(x)的值域解(1)f(x)4cos xsin14cos xsin xcos x12sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，令2k2x2k，kZ，解得：kxk，kZ，则f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)x，2x，sin，则f(x)的
10、值域为1,2二、能力提升8若cos()cos()，则cos2sin2等于()A B C. D.答案C解析cos()cos()(cos 2cos 2)(2cos21)(12sin2)cos2sin2，cos2sin2.9函数ysinsin x的值域是()A2,2 B.C. D.答案B解析ysinsin x2cossincos.x，x，y.10函数ycoscos的最大值是_答案解析ycos 2x，因为1cos 2x1，所以ymax.11化简下列各式：(1)；(2).解(1)原式tan.(2)原式.12已知f(x)，x(0，)(1)将f(x)表示成cos x的多项式；(2)求f(x)的最小值解(1)f(x)2coscoscos 2xcos x2cos2xcos x1.(2)f(x)2(cos x)2，且1cos x1.当cos x时，f(x)取最小值.三、探究与创新13已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f().求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解(1)f(x)sin xcos xcos xsin xsin x，f()sin .sin ，又，cos ，且g()2sin21cos .(2)f(x)g(x)sin x1cos xsin xcos xsinxx，kZ.
