1、31 函数与方程31.1 方程的根与函数的零点1函数yx21与x轴交点坐标为方程x210的实数根为.函数yx2与x轴交点坐标为方程x20的实数根为.函数yx21与x轴交点方程x210的实数根(1,0)，(1,0)x1(0,0)x0无无2一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根及其相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写b24ac函数yax2bxc图象方程的实根yax2bxc与x轴的交点结论0方程的实根即函数图象与x轴交点的横坐标00无无3.对于函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数
2、yf(x)有点4若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续曲线，且有，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c).f(x)0 x轴零f(a)f(b)00本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定方程根的存在性和根的个数1一般结论如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c就是方程f(x)0的根零点c通常称作函数f(x)的变号零点注意：f(x)的图象必须在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0时，才可确定f(x)在a，b上有零点2函数变号
3、零点的性质对于任意函数yf(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：当它通过变号零点时，函数值变号如函数f(x)x22x3的图象在零点1的左边时，函数值取正号，当它通过零点1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号3方程的根与函数的零点的作用一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与函数yf(x)联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方
4、程的根或根的近似值例11.指出下列函数的零点：f(x)4x3f(x)x23x2f(x)x412函数f(x)x2axb的两个零点是2和4，求a、b.3函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围(1)指出下列函数的零点：f(x)x22x3零点为_g(x)lgx2零点为_(2)已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)_.例2二次函数yax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是()A1个 B2个C0个D无法确定分析分析条件ac0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向，cf(0)，所以acaf(0)0、0、0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点B一定没
5、有零点C可能有两个零点D至多有一个零点(2)若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上为减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个B两个C至少两个D无法判断答案(1)C(2)B分析从已知的区间(a，b)，求f(a)和f(b)判断是否有f(a)f(b)0.总结评述：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间a，b的端点函数值的乘积是否有f(a)f(b)0.若函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实数根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0C无法判断D等于零答案C解析当有变号零点时f(1)f
6、(1)0，故选C.例4求函数f(x)(x2x2)(x22x8)的零点，并指出使y0成立的x的取值范围解析y(x2x2)(x22x8)(x2)(x1)(x2)(x4)(x2)2(x1)(x4)函数的零点为2,1和4画出示意图：可知使y0成立的x的取值范围是区间(1,4)在求使y0)的x的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴上标出零点，画曲线时，奇过(乘方次数为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点)直接据图示写出x的取值范围这种方法通常称作“标根法”(或“穿根法”)例5已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点分析不妨设f(x)在R上是增函数，为
7、证明f(x)0至多有一个实根，考虑用反证法证明证明假设f(x)0至少有两个不同的实根x1，x2，且不妨设x1x2，由题意得f(x1)0，f(x2)0.f(x1)f(x2)f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由x1x2则f(x1)1时，f(x)0，从而不存在x1，使f(x)0，方程f(x)0没有大于1的实数根错解f(1)20，f(1)20，f(x)至少有一个零点，故选C.辨析解决函数问题必须注意函数的定义域，本题中，函数f(x)定义域为(，0)(0，)，f(x)的图象不是连续不断的在定义域上不能用勘根定理因为此定理的前提条件是函数图象连续不断正解易知函数定义域为xR|x0，当x0时，
8、f(x)0时，f(x)0，函数无零点，故选A.一、选择题1已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根D必有惟一的实根答案D2若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()Aa1C1a1 D0a1答案B解析a0时，显然不满足，令f(x)2ax2x1，f(x)0在(0,1)内恰有一解f(0)f(1)0，即1(2a2)1.选B.3已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个答案Bx123456f(x)123.5621.457.8211.5753.76126.494(2010天津理，2)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)答案B二、填空题5已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有_个零点答案36(上海大学附中20092010高一期末)函数y10 x与函数yx2的图象交点个数为_答案2
