1、等比数列习题课01 十二月 20251.等比数列的定义：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 来表示.2.等比数列的通项公式：a n=a 1 q n 1 .an =amq n-m复 习 回 顾3.等比数列的前 n 项和公式：4.递推公式(q 为公比)：5.等比中项：6.等比数列的一条性质：分别与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积.对任意 m，n，p，q N*，当 m+n=p+q 时，有 am an=ap aq.7.an 为等比数列的两个充要条件：例 1在等比数列 a n 中，a
2、 1=2，a 7 a 8=80,求 a 14.解：因为 a n 为等比数列，所以 a 1a 14=a 7 a 8.例 题 解 析例2.（2009 宁夏海南 文）等比数列an的公比q0,已知a2=1,an+2+an+1=6an，则an的前4项和S4=.解析:由 an+2+an+1=6an 得：qn+1+qn=6qn-1即q2+q-6=0，q0,解得：q2，又 a2=1 所以，例 3、已知数列 a n 为等比数列，（1）若 m，n，p 成等差数列，求证 a m，a n，a p成等比数列.（2）若 a 3=-2，a 6=54，求 a 9 .证明：（1）由所给条件，可得 n m=p-n.所以，a m，
3、a n，a p成等比数列.在一个等比数列中，项数成等差数列的各项所形成的数列仍然是等比数列.例 3、已知数列 a n 为等比数列，（1）若 m，n，p 成等差数列，求证 a m，a n，a p成等比数列.（2）若 a 3=-2，a 6=54，求 a 9 .（2）由上题结论，a 3，a 6，a 9成等比数列.例4、设某个等比数列前 4 项的和为 2，前 8 项的和为 8，求前 12 项的和.解：设此数列的首项为 a 1，公比为 q，若 q=1，则 4 a1=2，8 a1=8，此二式是矛盾的，故 q 1.v解法二：因为 a1+a2+a3+a4 =a1+a1q+a1q 2+a1q 3,a5+a6+a
4、7+a8 =a1q 4+a1q 5+a1q 6+a1q 7,a9+a10+a11+a12=a1q 8+a1q 9+a1q 10+a1q 11把 S4=2，S8=8 代入上式，即可求得 S12=26.注：由本例解法二我们可以发现等比数列的又一条性质：把等比数列从第一项起依次每相同数目的项相加所得到的数列仍然是等比数列.例5、数列an中，S1=1,S2=2,Sn+1-3Sn+2Sn-1(n2)试判断数列是否为等比数列，并求Sn分析：(1)判断数列是否为等比数列的标准是是否为常数，应从条件Sn去向an转化(2)Sn可通过什么与an联系?注意n=1的讨论 (3)错解：数列为等比数列，且公比为2，且对式
5、(3)中n2你用了吗?正解：但 数列an从第2项才开始为等比数列为什么错了?例6、已知等差数列an的第二项为8，前十项的和为185，从数列an中，依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项按原来的顺序排成一个新数列bn，求数列bn的通项公式和前项和公式Sn.an3n2Sn=(32+2)+(322+2)+(323+2)+(32n+2)例7.设首项为正数的等比数列an,它的前n项之和为80,前2n项之和为6560,且前n项中数值最大的项为54，求此数列.代入(1)an递增，前n项中数值最大的项应为第n项得：例8(2008 全国 理)设数列an的前n项和为Sn已知 a1=a,an+1=Sn+3n,nN*(I)设bn=Sn-3n,求数列bn的通项公式；(II)若an+1an,nN*,求a的取值范围解:(I)依题意，即由此得因此，所求通项公式为 (II)由知于是，当n2时，当n2时，又综上，所求的a的取值范围是(II)由知练 习1、2、数列an中，Sn=1+kan(k0,k1)(1)证明数列an为等比数列；(2)求通项an；(3)当k=-1时，求和a12+a22+an2比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的灵活应用；特别注意当公比q为字母时一定要讨论它为1的情况；当一个数列不是等差或等比数列而又要求和时，一定要转化成等差或等比数列求和，注意分组求和.小结
