1、2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明线面间的平行关系.直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理文字语言平面外一条直线_的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为：线线平行_平行).一个平面内的_与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为：线面平行_平行).与此平面内线面两条相交直线面面直线与平面平行的判定定理
2、平面与平面平行的判定定理符号语言a,_aa,b,_,_,_图形语言babab=Pab1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”).(1)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与平面平行.()(2)若一条直线与一个平面内无数条直线平行,则这条直线与这个平面平行.()(3)若平面内有无数条直线都与平面平行,则平面与平面平行.()(4)若平面内的任何直线都与平面平行,则平面与平面平行.()提示：(1)错误.直线不在平面内包含两种情况,直线和平面平行或者直线和平面相交,故上述说法是错误的.(2)错误.直线可能在平面内,故该说法是错误的.(3)错误.无数条直线不能代替两条相交直线,故上述说
3、法是错误的.(4)正确.此时两个平面没有公共点,故是平行的.答案：(1)(2)(3)(4)2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)直线a在平面内表示为,直线a在平面外表示为.(2)一个平面内两条不平行的直线都平行于另一平面,则与的位置关系是.(3)平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零,则与的位置关系是.【解析】(1)直线a在平面内表示为a,直线a在平面外表示为a.答案：aa(2)平面内两条不平行的直线一定相交,故由判定定理可得.答案：(3)若与平行,显然满足条件;若与相交,在平面内三点位于两侧时,也满足题意.答案：平行或相交一、直线与平面平行的判定定理根据直线
4、与平面平行的判定定理及其符号表示a,b,aba.探究下列问题探究1：此定理中涉及几个量?若利用此定理判断线面平行,需要几个条件?提示：此线面平行的定理中涉及了三个量分别为直线a,b与平面,而利用此定理判断线面平行时,需要三个条件分别为a,b,ab.探究2：直线与平面平行的判定定理中条件a是否可以去掉?提示：定理中条件a必不可少,若没有这个条件,不一定得到a,可能直线a在平面内.【探究提升】直线与平面平行的判定定理的两个注意点(1)定理中的三个要素缺一不可.(2)定理的作用是证明线面平行.它通过等价转化思想,将线面平行问题转化为线线平行问题,即将空间问题转化为平面问题.二、平面与平面平行的判定定
5、理根据平面与平面平行的判定定理及其符号表示a,b,ab=P,a,b.探究下列问题探究1：平面与平面平行的判定定理的条件有几个?提示：平面与平面平行的判定定理的条件有5个：直线a平面;直线b平面;这两条直线相交于一点即ab=P;直线a平面;直线b平面.探究2：若将条件中的ab=P去掉,则平面与平面一定平行吗?提示：不一定.因为满足条件的两个平面可能相交,也可能平行.(1)当ab时,如图平面内的两条直线均平行于平面,但平面与平面有两种位置关系.探究提示：分两条直线相交和平行讨论.(2)当a与b相交时,与一定平行.探究3：平面内有一条直线a平行于平面内的直线l,则吗?提示：不一定平行,平面可能与平面
6、相交.【探究提升】1.平面与平面平行的判定定理的三个关注点(1)条件：定理的五个条件缺一不可.(2)作用：判定或证明面面平行.(3)关键：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行.2.平面与平面平行的判定定理的推论如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.即：【拓展延伸】立体几何中的转化思想通过直线间的平行,推证直线与平面平行.再通过直线与平面的平行,推证平面间的平行.这是处理空间位置关系的一种常用方法,即将直线与平面平行关系、平面与平面平行关系(空间问题)转化为直线间平行关系(平面问题),这就是立体几何中常用的重要数学思想转化思想.类型 一直线与平
7、面平行的判定定理及应用尝试完成下列题目,体会用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的两个注意点.1.能保证直线a与平面平行的条件是()A.a,b,abB.b,abC.b,c,ab,acD.b,Aa,Ba,Cb,Db且AC=BD2.下列结论正确的是()A.平行于同一平面的两条直线平行B.如果a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面C.若直线a,则平面内任一条直线都与a平行D.若直线a,则平面内有无数条直线与a平行3.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN平面AA1C1C.【解题指南】1.根据直线与平面平行的判定定理的三个条件来判断.2
8、.根据直线与平面平行的定义进行判断.3.根据中位线定理,在平面AA1C1C内找直线和MN平行.【解析】1.选A.根据直线与平面平行的判定定理,A满足条件,B,C,D都不满足.2.选D.由直线与平面平行的定义,平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面,故A错误;对于B,a可能在经过b的平面内;若直线a,则平面内有无数条直线与a平行,任意一条不一定与a平行,故选D.3.设A1C1的中点为F,连接NF,FC,因为N为A1B1的中点,所以NFB1C1,且NF=B1C1.又由棱柱性质知B1C1BC,又M是BC的中点,所以NFMC,所以四边形NFCM为平行四边形.所以MNCF,又CF平面AA1C1C,
9、MN平面AA1C1C,所以MN平面AA1C1C.【技法点拨】利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行的两个注意点(1)证明的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,注意说明已知直线不在平面内.(2)证明时要注意利用几何体的特征,合理利用中位线定理,或者构造平行四边形,寻找比例式证明两直线平行.【变式训练】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为线段AB,CD,C1D1的中点.求证：C1M平面ANPA1.【证明】连接AP,因为CC1D1D是平行四边形,所以C1D1CD,C1D1=CD.因为N,P分别为线段CD,C1D1的中点,所以C1PCN,C1P=CN.因为AB
10、CD是平行四边形,所以ABCD,AB=CD.因为M为线段AB的中点,所以CNAM,CN=AM,所以C1PAM,C1P=AM,所以AMC1P是平行四边形,所以C1MAP,又C1M平面ANPA1,AP平面ANPA1,所以C1M平面ANPA1.类型 二平面与平面平行的判定定理及应用 完成下列题目,体会用平面与平面平行的判定定理证明面面平行,并从中归纳判定两个平面平行的常用方法.1.给定下列条件两个平面不相交;两个平面没有公共点;一个平面内所有直线都平行于另一个平面;一个平面内有一条直线平行于另一个平面;一个平面内有两条直线平行于另一个平面;以上条件能判断两个平面平行的有.2.(2013宿州高一检测)
11、如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.求证：平面PAB平面EFG.【解题指南】1.按照平面与平面平行的定义和判定定理来判断.2.利用中位线定理找平行线,再用面面平行的判定定理推出结论.【解析】1.由两个平面的位置关系知正确;由两个平面平行的定义知正确;两个平面相交,其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,故错误,选.答案：2.因为E,G分别是PC,BC的中点,所以EGPB,又因为EG平面PAB,PB平面PAB,所以EG平面PAB,同理可证：EF平面PAB,因为EGEF=E,所以平面PAB平面EFG.【互动探究】题2中条件不变,求证：FG平面PAB.【证明】由
12、2知平面PAB平面EFG,又FG平面EFG,FG平面PAB,所以FG平面PAB.【技法点拨】常见面面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点.(2)判定定理法：转化为线面平行.(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行.【拓展延伸】三角形的“四心”及主要性质(1)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.(2)三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形三条高线的交点叫三角形的垂心.(4)三角形三个角的角平分线的交点叫三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等.三角形的“四心”在数学中
13、应用非常广泛,要熟练掌握.【变式训练】已知P为ABC所在平面外一点,G1,G2,G3分别是PAB,PCB,PAC的重心.(1)求证：平面G1G2G3平面ABC.(2)求【解析】(1)如图所示,连接PG1,PG2,PG3并延长分别与边AB,BC,AC交于点D,E,F,连接DE,EF,FD,则有PG1PD=23,PG2PE=23,所以G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内,所以G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2,所以平面G1G2G3平面ABC.(2)由(1)知所以G1G2=DE.又DE=AC,所以G1G2=AC.同理G2G3=AB,G1G3=BC.所以G1G
14、2G3CAB,其相似比为13.SABC=19.类型 三线与面平行、面与面平行的综合应用尝试完成下列各题,体会线面平行、面面平行的判定定理的综合应用以及它们之间的相互转化.1.(2013长沙高一检测)设有直线m,n和平面,.下列结论不正确的是(填序号).若m,n,则mn;若m,n,m,n,则;若直线mn,直线n,则m;若直线mn,n,那么直线m就平行于平面内的无数条直线.2.(2013深圳高一检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证：(1)BFHD1.(2)EG平面BB1D1D.(3)平面BDF平面B1D1H.【解题指南
15、】1.按照线面平行、面面平行的定义和判定定理来判断.2.(1)取BB1的中点M,利用平行四边形证明.(2)在面内找GE的平行线.(3)借助(1)和面面平行的判定定理证明.【解析】1.由线面平行的定义知不正确;当直线m,n不相交时,不一定得出面面平行,故知不正确;m可能在平面内,故不正确;平面内有一条直线和直线m平行,就有无数条直线与其平行,故正确,选.答案：2.(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,所以HD1MC1.又因为MC1BF,所以BFHD1.(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OEDC,又D1GDC,所以OED1G,所以四边形OEGD1是平行四边形
16、,所以GED1O.又因为D1O平面BB1D1D,所以EG平面BB1D1D.(3)由(1)知D1HBF,又BDB1D1,B1D1,HD1平面HB1D1,BF,BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,所以平面BDF平面B1D1H.【技法点拨】证明线面、面面平行问题中的转化思想(1)证明直线与平面平行问题的关键是设法在面内找到一条与已知直线平行的直线;证明平面与平面平行的关键是证明一个面内的两条相交直线都和另一个平面平行.(2)证明面面平行需要转化为证明线面平行,证明线面平行可转化为证明线线平行,转化为在一个平面内考虑两条直线的平行问题,这就是空间问题平面化的数学思想.【变式训练】如图
17、所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F平面A1BE?证明你的结论.【解析】存在.当点F是棱C1D1的中点时,B1F平面A1BE.理由如下：如图所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B1F,EG,BG,CD1,FG.因为A1D1B1C1BC,且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以D1CA1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EGD1C,从而EGA1B.这说明A1,B,G,E共面.所以BG平面A1BE.因为C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FGC1CB
18、1B,且FG=C1C=B1B,所以B1BGF是平行四边形,所以B1FBG,又因为B1F平面A1BE,BG平面A1BE,所以B1F平面A1BE.1.如果直线a,那么直线a与平面内的直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选D.直线a,直线与平面内的直线没有公共点,故它们之间的位置关系是平行或异面.2.过平面外一点作平面的平行线,可以作()A.一条B.两条C.无数条D.以上都不对【解析】选C.过平面外一点可以作无数条平面的平行线.3.下列结论中,不正确的个数是()一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;平
19、行于同一条直线的两条直线和同一平面平行.A.0 B.3 C.2 D.1【解析】选C.错误.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或在平面上.4.如图所示,四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得到AB平面MNP的图形的序号是.【解析】对于,平面MNP平面AB,故AB平面MNP.对于,MPAB,故AB平面MNP.对于,过N作AB的平行线(即N与底面中点的连线)与平面MNP是相交的,故平面MNP内不存在与AB平行的直线.对于,可以过M作AB的平行线也与平面MNP相交,故不能推出AB平面MNP.答案：5.如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别为PA,BC的中点.求证：EF平面PCD.【证明】取PD的中点G,连接EG,CG.因为AE=PE,PG=DG,所以EGAD,且EG=AD.又因为四边形ABCD是平行四边形,且F是BC的中点,所以CFAD,且CF=AD.所以CFEG,所以四边形EFCG是平行四边形,所以EFCG.又因为EF平面PCD,CG平面PCD,所以EF平面PCD.
