1、江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期学情检测（三）数学试卷 2021年5月17日 注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置3答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置一、单项选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求1若集合A，B，U满足，则U （）AA U BBA U BCB U ADB U A2设为复数，则下列四个结论中不正确的是 ( )A B C一定是实数 D一定是纯虚数3函数的图象大致为（ ） AB CD4已知实数，且，则的最大值为（ ）A
2、B C D5甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的外套中各选一件穿在身上，各人外套的颜色互不相同，乙比穿蓝外套的人年龄大，丙和穿红外套的人年龄不同，穿红外套的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所穿外套的颜色依次为 （）A黄、红、蓝 B红、黄、蓝 C蓝、红、黄 D蓝、黄、红6每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）A B C D7平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条
3、渐近线与圆相交于、两点，若，则该双曲线的离心率的值为（ ） A B C D 8如图，等边三角形中，为边的中点，于将沿翻折至的位置，连结那么在翻折过程中：总有成立；存在某个位置，使；在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终不变其中所有正确结论的编号是（ ） AB CD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A展开式共有6项 B展开式中的常数项是 C展开式中各项系数之和为1 D展开式中的二项式系数之和为6410素数（大于1的，除了1和它自身外，不能被其他
4、自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛。1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名471013161971217222732101724313845132231404958162738496071193245587184该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（ ）A第4行第10列的数为94 B第7行的数公差为15C592不会出现在此数阵中 D第10列中前10行的数之和
5、为125511已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ） A是偶函数 B的最小正周期是 C在上的最大值是2 D图象的对称轴是直线12意大利著名画家列奥纳多达芬奇（1452.41519.5）的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线
6、相交于点，则下列结论中正确的是（ ）A BC随的增大而减小 D的面积随的增大而减小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩 服从正态分布N（105，）（），若P（120） 0.75，则P（90120）的值为 14平面直角坐标系中中，已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点，中的两个，则该抛物线的焦点坐标可以是_（写出其中一个）15某校开展“四大名著”经典诵读比赛活动，高三（1）班有4位同学参赛，这4人每人从三国演义西游记红楼梦水浒传这4本书中选取1本进行准备（这4人各自选取的书均互不相同）。比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽
7、取1本选择其中的内容诵读，则这4位同学中抽到自己准备的书的人数的数学期望的值为_16已知四面体中，两两垂直且，则这个四面体的外接球的表面积的值为_，以为球心，为半径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为_（第一问2分，第二问3分）三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知数列的各项依次为：12，1122，111222，且存在数列，使得对任意的，均有（1）求，并写出数列的通项公式（本小问只要直接写出结果）；（2）求数列的前项的和18(本小题满分12分)在的外接圆面积为的面积为的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题的横线处，并给出
8、解答问题：在中，内角，的对边分别为，是边上一点，已知，若_，求的长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19(本小题满分12分) 如图，在三棱台中，平面平面，（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值20(本小题满分12分) 公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4
9、局且赌博意外终止的情况，则甲乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）（1）若，甲乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件） 21(本小题满分12分)设，函数，函数（其中为自然对数的底数）（1）若且，比较，的大小；（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的所有可能的取值22 (本小题满分12分) 木工是家居装修中重要的角色，经过他们灵巧的双手，一件件堪称艺术品的木制家具被巧妙的制作出来，如图所示就是一
10、种木工制图工具，是直滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，当栓子在滑槽内往复运动一次时，带动绕转动一周（不动时也不动），处的笔尖画出的曲线记为（1） 判断曲线的形状，并说明理由；（2） 动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上 参考答案一、 单选题12345678CDABACBB二、 多选题9101112CDABDACDBD三、 填空题131415160.5、 填一个1四、 解答题17.（1） 2分 6分（2） 10分18.解：因为，所以解得或舍去，所以在中.因为所以所以由余弦定理得又所以即，所以为等边三角形. 6分因为所以在中，由余弦定
11、理得 8分选择条件：由的外接圆面积为得所以所以故. 12分选择条件：由的面积为，得的面积为，所以解得故. 12分 选择条件：由的周长为，得所以故. 12分 19. （1）平面平面，平面平面，平面，平面，；，；，平面，平面，；6分（2）法一：平面，平面，平面平面，作交延长线于点H，平面平面，平面，即所求线面角；算得，；所以直线与平面所成角的正弦值为12分法二：以A为原点，分别为y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，延长棱台的三条侧棱交于点P，且，则是中点，；，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为12分20. （1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏由题意知，最多再进行4
12、局，甲乙必然有人赢得全部赌注.当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以.所以，甲赢的概率为.所以，甲应分得的赌注为元 6分 （2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，当时，乙以贏，；当时，乙以贏，；所以，乙赢得全部赌注的概率为于是甲赢得全部赌注的概率求导，.因为所以所以在上单调递增，于是.故乙赢的概率最大为故是小概率事件。12分 21.（1）易证，所以；又因为，所以，即4分（2），由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值；由函数求导，得，由得；由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数有最小值；因为，函数的最大值，即函数在直线的下方，故函数在直线的上方，所以，解得.所以的取值为.12分22.（1）以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设点，依题意，且，所以，且 即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线是椭圆，方程为 6分 （2） 12分
