1、第3讲函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值做一做1(2014高考北京卷)下列
2、函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3Cyln x Dy|x|答案：B2函数f(x)x22x(x2，4)的单调增区间为_；f(x)max_解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1，4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1，481辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数f(x)在(，0)、(0，)上递减，而不能说在定义域上递减2判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、
3、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性3函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)做一做3函数y1()A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递减C在(1，)上单调递增D在(1，)上单调递减答案：C4已知函数yf(x)在R上是减函数，点A(0，2)，B(3，2)在其图象上
4、，则不等式2f(x)2的解集为_答案：x|3x0)在x(1，1)上的单调性.扫一扫进入91导学网()证明函数的单调性解设1x1x21，则f(x1)f(x2)1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1，1)上为减函数规律方法确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增增得增”“减减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性(
5、4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性.1.已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，)上是减函数，在，)上是增函数证明：设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数_求函数的单调区间_(1)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1，1B(0，1C1，) D(0，)(2)(2015山西太原模拟)函数yf
6、(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.B.C(，0)D.(3)(2015广东中山质检)yx22|x|3的单调增区间为_解析(1)由题意知，函数的定义域为(0，)令yx0，即x21，即1x1.故当x(0，1时，函数单调递减故选B.(2)由题意得0logax，0a1，x1.(3)由题意知当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0，1上是增函数答案(1)B(2)B(3)(，1，0，1若将本例(2)中的“0a1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？解：由题意
7、得logax0或logax，a1，00，则x3.函数ylog3(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylog3u在(0，)上是增函数ylog3(x24x3)的单调递增区间为(3，)，单调递减区间为(，1)(2)由x22x30，得1x3，此时函数yx22x3(x1)24；由x22x30，得x3，此时函数yx22x3(x1)24，即y画出函数的图象如图所示，单调递增区间为1，1和3，)，单调递减区间为(，1和1，3_函数单调性的应用(高频考点)_函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应
8、用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现，高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)求参数的取值范围或值(1)(2015贵州贵阳质检)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称，且f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3) Bf(0)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)(2)函数f(x)的最大值为_(3)(2015金华十校联考)已知函数f(x)，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是_(4)已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，则实数a的
9、取值范围为_解析(1)依题意得f(3)f(1)，且112，于是由函数f(x)在(，2)上是增函数得f(1)f(1)f(3)(2)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当xf(a)，得2a2a，解得2a1.即实数a的取值范围是(2，1)(4)任取2x1x2，由已知条件，得f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立，即当2x1a恒成立又x1x24，则0a4.即实数a的取值范围是(0，4答案(1)A(2)2(3)(2，1)(4)(0，4规律方法应用函数单调性解题常用策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的
10、单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值3.(1)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1，0)(0，1)(2),学生用书P20)方法思想数形结合思想求函数最值已知函数f
11、1(x)|x1|，f2(x)x1，g(x)，若a，b1，5，且当x1，x2a，b时，0恒成立，则ba的最大值为()A2B3C4 D5解析当f1(x)f2(x)时，g(x)f1(x)；当f1(x)0时，f(1)|1a|，f(0)|a|a.由|1a|a，得12aa2a2，解得a.所以当0a时，M(a)f(1)|1a|1a；当a时，M(a)f(0)|a|a.综上，得M(a)当a1，当a时，M(a)a，所以M(a).故选C.图(1) 图(2)2用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_解析：在同一坐标系中分别作出函数y4x1，yx4，yx8的图
12、象后，取位于下方的部分得函数f(x)min4x1，x4，x8的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x2时取得最大值6.故填6.答案：61(2014高考陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x) Df(x)3x解析：选D.f(x)x，f(xy)(xy)xy，不满足f(xy)f(x)f(y)，A不满足题意f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y3，不满足f(xy)f(x)f(y)，B不满足题意f(x)，f(xy)，满足f(xy)f(x)f(y)，但f(x)不是增函数，C不满足题意f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足f(x
13、y)f(x)f(y)，且f(x)3x是增函数，D满足题意2(2015安徽合肥检测)函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0)B.C0，)D.解析：选B.(数形结合法)y|x|(1x)画出函数的图象，如图由图易知原函数在上单调递增故选B.3若函数f(x)x22xm在3，)上的最小值为1，则实数m的值为()A3 B2C1 D1解析：选B.f(x)(x1)2m1在3，)上为单调增函数，且f(x)在3，)上的最小值为1，f(3)1，即22m11，m2.4已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1
14、)f(3)Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)0的解集的子集函数在0，1上是减函数，显然0a1不符合题意，即1a2.6设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0，1)答案：0，1)7已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是_解析：依题意得，不等式f(x)f(2x3)等价于x2x3，由此解得x3，即满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是(3，)答案：(3，)8(2015福建厦门质检)函数f(x)log2(
15、x2)在区间1，1上的最大值为_解析：由于y在R上递减，ylog2(x2)在1，1上单调递增，所以f(x)在1，1上单调递减，故f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.答案：39已知函数f(x)，x0，2，求函数的最大值和最小值解：设x1，x2是区间0，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)()由0x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1
16、a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知0a1.1已知函数f(x)，满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B.C(，2D.解析：选B.函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.2(2015长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x20且x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0 B恒大于0C恒小于0 D可正可负解析：选C.由x1x20不妨设x10.x1x20，x1x20.由f(x)f(x)0知f(x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2
17、)，所以f(x1)f(x2)0，即a1时，由已知得函数y在(0，4上单调递增，显然此时a1矛盾当a10，即a0.因为3ax0在(0，4上恒成立，所以可得a.故a(0，答案：(0，4函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如：函数f(x)2x1(xR)是单函数给出下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；指数函数f(x)2x(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在
18、其定义域内是单调的，故命题是真命题，是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题是真命题答案：5已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)因为f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以f(x)在2，9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.即f(
19、x)在2，9上的最小值为2.6(选做题)已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x1)f(x)时x的取值范围解：(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x12x2，a0a(2x12 x2)0，3x13x2，b0b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数同理，当a0，b0时，函数f(x)在R上是减函数(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0，当a0，b0时，则xlog1.5；当a0，b0时，则xlog1.5.综上，当a0，b0时，xlog1.5；当a0，b0时，xlog1.5.
