1、一、求函数的极值、最值极小值极小值f(xf(x11)极小值极小值f(xf(x33)极大值极大值f(xf(x22)最小值最小值f(xf(x33)最大值最大值f(b)f(b)1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数（x）；（2）求方程（x）=0的根；（3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间a，b内所有的极值，以及 f（a）和 f（b），最大者为最大值，最
2、小者为最小值.1.函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.0b1 B.b0 D.bm，则实数m的取值范围是_.AA12 mm（，）【例1】（2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.f（1）=2是极大值，f（1）=2是极小值切线方程为9xy+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，x=2是方程
3、f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）2.nn=0=0 评述：此题往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.(3)若方程有三个根，它们分别为求的取值范围.【例3】求函数的极值。解：f(x)的定义域为R,且可知 x=1时，而x=0和 x=2时，不存在.三点x=0,x=1,x=2将定义域分成四个区间:X (-,0)0(o,1)1(1,2)2(2,+)函数 f(x)有极小值 f(0)=0,f(2)=0，有极大值 f(1)=1极小值 0极小值 0极大值 1【例4】对于函数y=f（x）（xD）若同时满足下列两个条件，
4、则称f（x）为D上的闭函数.f（x）在D上为单调函数；存在闭区间a，b D，使f（x）在a，b上的值域也是a，b.（1）求闭函数y=x3符合上述条件的区间a，b；（2）若f（x）=x33x29x+4，判断f（x）是否为闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.1.函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为()A.11 B.2 C.12 D.102.已 知 f（x）=ax5 bx3+c（a0）在x=1处有极值，且极大值为4，极小值为0，则a=、b=、c=。A3523.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出
5、下列判断：函数y=f（x）在区间（3，）内单调递增；函数y=f（x）在区间（，3）内单调递减；函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；当x=2时，函数y=f（x）有极小值；当x=时，函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_.4已知f(x)=(xR)在区间-1，1上是增函数。（I）求实数a的值组成的集合A；（II）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。二、函数的单调性2yx0.观察函数y=x24x3的图象：总结:该函数在区间（，2）上单减
6、,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.1一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x10,得函数单增区间;解不等式f(x)0得:0 x1,则函数的单增区间为(0,1).解不等式y 0得:1x2,则函数的单减区间为(1,2).2x-x21-x1.函数y=x2（x3）的减区间是()A
7、.（，0）B.（2，+）C.（0，2）D.（2，2）2.函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b 应满足()A.a0且bR C.a0且b0 D.a0是 f（x）在（a，b）内单调 递增 的_条件.5.若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_ 充分b0【例1】设f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.答：函数f（x）的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，1）.评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】已知函数f（
8、x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负答：a3 评：f（x）在R上为减函数（x）0（xR）【例3】若函数y=x3 ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力【例4】已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问：是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数.解：(1)由题意得ff(x)=f(x2+
9、c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2)x函数(x)在(,1)上是减函数，当x1时，(x)0故当=4时，(x)在(,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在.即4x3+2(2)x0对于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函数(x)在(1,0)上是增函数当1x0时，(
10、x)0即4x2+2(2)x0对于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得41.下列各式正确的是()A.xsinx（x0）B.sinxx（x0）C.xsinx(0 x )D.以上各式都不对D.2.函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线E.方程是()F.A.3x+2y+=0 B.3x2y+=0G.C.3x2y =0 D.3x+2y=0H.3.已知函数y=ax315x236x24在x=3处有极值,则函数的递减区间为()I.A.(,1),(5,)B.(1,5)C.(2,3)D.(,2),(3,)4.已知xR,求证：exx+1.5.已知函数f（x）的图象与函数h（x）
11、=x+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在区间（0，2）上为减函数，求实数a的取值范围.6.已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：a bb a.证法一：bae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb,abba.设f(x)=(xe)，则 f(x)=0 又eab,f(a)f(b),即,abba.证法二：bae,要证
12、abba,只要证blnaalnb,7.已知一物体做圆周运动，出发后t分钟内走过的路程 ，最初用5分钟走完第一圈，接下去用3分钟走完第二圈.（1）试问该物体走完第三圈用了多长时间？（结果可用无理数表示）（2）试问从第几圈开始，走完一圈的时间不超过1分钟？解：（1）设圆周长为l，依题意有设出发t分钟后走完第三圈，上式代入，得所以走完第三圈需用时间为（2）设出发t分钟后走完第x圈，解得依题意应有当时,不等式成立,所以，从第16圈开始，走一圈所用时间不超过1分钟.8.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 k
13、m，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50 x,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5ax)+5 a (0 x50)y =3a+,令y =0,解得 x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50 x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.设BCD=,则BC=,CD=40cot,(0),AC=5040cot ,设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(5040cot)+5a =150a+40 a f()=40a 令f()=0,得 cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.法二：
