1、考点测试 28 平面向量的数量积及应用 高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中、低等难度 考纲 研读 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 一、基础小题 1已知向量 a，b 满足|a|1，|b|3，且 a，b 夹角为6，则(ab)(2ab)()A.12 B32 C12 D32 答案 A 解析(ab)(2ab)2a2b2ab231 3 32 12.故选 A.2如果等腰三角形 ABC 的周长是底边长 B
2、C 的 5 倍，BC1，则ABBC()A.12 B14 C12 D14 答案 C 解析 由题意得 ABAC2，设 D 是边 BC 的中点，在 RtABD 中，cosABC14，ABBC|AB|BC|cos(ABC)2114 12.故选 C.3已知向量 a(3，1)，b(3，3)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为()A 3 B 3 C1 D1 答案 A 解析 由投影的定义可知，向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cosa，b，又 ab|a|b|cosa，b，|b|cosa，bab|a|3 331 3.故选 A.4若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)
3、0，则ABC 的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 答案 A 解析 因为(OBOC)(OBOC2OA)0，即CB(ABAC)0，所以(ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|，所以ABC 是等腰三角形，故选 A.5设 a，b 是互相垂直的单位向量，且(ab)(a2b)，则实数 的值是()A2 B2 C1 D1 答案 B 解析 依题意，有|a|b|1，且 ab0，又(ab)(a2b)，所以(ab)(a2b)0，即 a22b2(21)ab0，即 20，所以 2.故选 B.6在ABC 中，ABAC0，|AB|4，|BC|5，D 为线段 BC 的中点，E 为线段 B
4、C 垂直平分线 l 上任一异于 D 的点，则AECB()A.72 B74 C74 D7 答案 A 解析 如图所示，|AC|BC|2|AB|2FK)3，AECB(ADDE)CBADCBDECBADCB12(ABAC)(ABAC)12(AB2AC2)72.故选 A.7已知 a(cos2，sin)，b(1，2sin1)，2，若 ab25，则tan4()A.13 B17 C27 D23 答案 B 解析 由题意可得 abcos2sin(2sin1)cos22sin2sin12sin22sin2sin1sin25，故有 sin35.再由 2，得 cos45，tan34，tan4 1tan1tan17.故选
5、 B.8正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 BC 边的中点，F 为 CD 边上一点，若AFAE|AE|2，则|AF|()A3 B5 C.32 D52 答案 D 解析 AFAE|AE|2，由数量积的几何意义可知 EFAE，由 E 是 BC 的中点，得 AE 5，EF 1CF2，AF 4CF2，AE2EF2AF2，CF12，AF52.故选 D.二、高考小题 9(2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B3 C23 D56 答案 B 解析 由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b ab|a|b|
6、b22b212.0a，b，a 与 b 的夹角为3.故选 B.10(2019全国卷)已知AB(2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2 C2 D3 答案 C 解析 BCACAB(3，t)(2，3)(1，t3)，|BC|1，12t21，t3，BC(1，0)，ABBC21302.故选 C.11(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0 答案 B 解析 因为 a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.故选 B.12(2018天津高考)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点
7、E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116 B32 C.2516 D3 答案 A 解析 解法一：如图，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(1，0)，B32，32，C(0，3)，令 E(0，t)，t0,3，AEBE(1，t)32，t 32t2 32 t32，t0，3，当 t 322134 时，AEBE取得最小值，(AEBE)min 316 32 34 322116.故选 A.解法二：令DEDC(01)，由已知可得 DC 3，AEADDC，BEBAAEBAADDC，AEBE(ADDC)(BAADDC)ADBA|AD|2
8、DCBA2|DC|2323232.当 322314时，AEBE取得最小值2116.故选 A.13(2019全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_.答案 23 解析 由题意，得 cosa，ca a 5b|a|2 a 5b|2a2 5ab|a|2a 5b|221 4523.14(2019江苏高考)如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD与 CE 交于点 O.若ABAC6AOEC，则ABAC的值是_ 答案 3 解析 解法一：如图 1，过点 D 作 DFCE 交 AB 于点 F，由 D 是 BC 的中点，可知 F 为 B
9、E的中点又 BE2EA，则知 EFEA，从而可得 AOOD，则有AO12AD14(ABAC)，ECACAEAC13AB，所以 6AOEC32(ABAC)AC13AB 32AC212AB2ABACABAC，整理可得AB23AC2，所以ABAC 3.解法二：以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图 2 所示 设 E(1，0)，C(a，b)，则 B(3，0)，Da32，b2.lAD：y ba3x，lCE：y ba1xOa34，b4.ABAC6AOEC，(3，0)(a，b)6a34，b4(a1，b)，即 3a6aa4b24，a2b23，AC 3.ABAC 33 3.三、模
10、拟小题 15(2019沈阳市第二次质量监测)已知向量 a(3，1)，b(x，1)，且 a 与 b 垂直，则 x 的值为()A.13 B12 C2 D3 答案 A 解析 由题知 ab，所以 ab0，即 3x1(1)0，则 x13，故选 A.16(2019四川一诊)在ABC 中，AB3，AC2，BAC120，点 D 为 BC 边上一点，且BD2DC，则ABAD()A.13 B23 C1 D2 答案 C 解析 因为ADACCDAC13CBAC13AB13AC13AB23AC，所以ABAD13AB223ABAC32332cos1201.故选 C.17(2019内江模拟)若|a|1，|b|2，|a2b|
11、13，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B3 C2 D23 答案 D 解析|a|1，|b|2，|a2b|13，(a2b)2a24b24ab1164ab13，ab1，cosa，b ab|a|b|12.又 0a，b，a，b 的夹角为23.故选 D.18(2019呼和浩特质量检测)设 a，b 均是非零向量，且|a|2|b|，若关于 x 的方程x2|a|xab0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围为()A.0，6 B3，C.3，23 D6，答案 B 解析 关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，|a|24ab0，ab|a|24，cosa，b ab|a|b|a|24|a|b|12，又 0a
12、，b，3 a，b.故选 B.19(2019黄冈二模)已知向量 a(1，3)，b(3，m)，且 b 在 a 方向上的投影为3，则向量 a 与 b 的夹角为_ 答案 23 解析 根据题意，设向量 b 与 a 的夹角为，因为向量 a(1，3)，b(3，m)，则|a|2，ab3 3m，若 b 在 a 方向上的投影为3，则有ab|a|3 3m23，解得 m3 3，则 b(3，3 3)，则|b|6，则 cos ab|a|b|62612，又由 0，则 23.20(2019湖南师大附中一模)点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则ANAM的最大值是_ 答案 6 解
13、析 以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，那么有 A N(1，2)，设 M 点坐标为(x，y)，则 A M(x，y)，其中 0 x2，2y0，ANAMx2y，当 x 取得最大值 2，y 取得最小值2 时，A NA M取得最大值6.一、高考大题 1(2017江苏高考)已知向量 a(cosx，sinx)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所以 3cosx3sinx.若 cosx0，则 si
14、nx0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cosx0，于是 tanx 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，3)3cosx 3sinx2 3cosx6.因为 x0，所以 x6 6，76，从而1cosx6 32.于是，当 x6 6，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.2(2015广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sinx，cosx)，x0，2.(1)若 mn，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值 解(1)mn，mn0，故 22 sinx
15、22 cosx0，tanx1.(2)m 与 n 的夹角为3，cosm，n mn|m|n|22 sinx 22 cosx1112，故 sinx4 12.又 x0，2，x4 4，4，x4 6，即 x512，故 x 的值为512.二、模拟大题 3(2019商丘模拟)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；(2)若|b|1，且 ab 与 a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 的余弦值 解(1)设 c(x，y)，则由 ca 和|c|2 5，可得 1y2x0，x2y220，解得 x2，y4或 x2，y4.c(2，4)或 c(2，4)(2)
16、ab 与 a2b 垂直，(ab)(a2b)0，即 a2ab2b20，ab3，cos ab|a|b|3 55.4(2019盐城二模)设向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中 0，02，且 ab 与 ab 相互垂直(1)求实数 的值；(2)若 ab45，且 tan2，求 tan 的值 解(1)由 ab 与 ab 互相垂直，可得(ab)(ab)a2b20，所以 cos22sin210.又因为 sin2cos21，所以(21)sin20.因为 00，所以 1.(2)由(1)知 a(cos，sin)，由 ab45，得 coscossinsin45，即 cos()45.因为 02，所以2 0，所以 sin()1cos235.所以 tan()34，因此 tantan()tan112.
