1、河南省长葛市第一高级中学2017-2018学年高三12月月考数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设，为虚数单位，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件知道是实数，故，要求虚部为0即可， 故答案为B。2. 设集合，则中整数元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】集合 ，. ，整数有3，4，5，6.共四个。故答案为B。3. 已知向量，则“”是“与反向”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、【答案】C【解析】当向量反向时，则有且，即，解得。故“”是“与反向”的充要条件。选C。4. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（ ）A. 依次成公比为2的等比数列，且B. 依次成公比为2的等比数列，且C. 依次成公比为的等比数列
3、，且D. 依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，依次成公比为的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N项和，即 故答案为D。5. 若函数在上递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数在（0，1）上递减，即导函数在区间上小于等于0恒成立；故，在（0，1）上恒成立，是增函数，故最大值在x=1处取。得到范围是。故答案为：B。6. 某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）A. 36 B. 42 C. 48 D. 64【答案】C【解析】有三视图知该几何体是正方体，挖去了右上角和左
4、下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体的体积的四分之三，故得到正方体边长为此时表面积是 故答案为C。7. 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】定义在上的奇函数，故 根据零点存在定理得到 ， 。故在区间上一定有零点。故答案为：C。8. 设变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据变量满足约束条件画出可行域，如图所示：由得由图得当过点时，最大为6. 所求的取值范围为故选D9. 在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：若，则此四棱锥的侧面积为；：若分别为的中点，则平面；：若都在球的
5、表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.在下列命题中，为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；取BC的中点G，分别为的中点故得，故平面EFG/平面PAB，从而得到EF/平面PAB，故是真命题；设AB=a, AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA，AO，POO为球心，球的半径为，表面积为 ,又正方形的面积为,故为真。故为真； 均为假。故答案为A。10. 设，定义运算：则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
6、析】因为=3，（）=3= ，= 又因为 = = 故。故答案为B。11. 设为数列的前项和，且，记为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由2anan1=32n1（n2），得， 由2anan1=32n1（n2），且3a1=2a2，可得2a2a1=6，即2a1=6，得a1=3数列是以为首项，以为公比的等比数列，则 （2+22+23+2n） 22n21n 对nN*，Tnm，m的最小值为故答案为A。点睛：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情
7、况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。12. 当时，恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当x0时，aln（x+1）恒成立，x0则f（x）= ，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）x，则g（x）=（1+x）ln（x+1）+1+xx=（1+x）ln（x+1）+10恒成立，g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）=0，f（x）0f（x）在0，+）上单调递增，f（x）f（0），根据洛必达法则可得f（0）=1a1，故a的取值范围为（，1故答案为A。点睛：这个题目考查的是函数，不等式恒成立求参的问题。一
8、般解决的方法是伴随着导数研究单调性和最值；可以解决的方法有：直接转化成函数最值；可以先变量分离再转为函数最值；也可以分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量满足，则_【答案】.【解析】，即故答案为14. 函数的值域为_【答案】【解析】 故答案为：。【答案】【解析】函数的图象相邻的两个对称中心为将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象故答案为点睛：本题考查的是三角函数的图象的综合性质的应用；一般通过图象特点求解析式，需要找函数的最值点和零点来求周期和相位；图象的平移一般是左加右减的规律，注意这个步
9、骤需要将的系数提出来.16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为线段的中点，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为_【答案】【解析】设，连接，则几何体为两个棱锥的公共部分为的中点，且为的中点取的中点，的中点，则，易证平面与平面所成角为连接易知故答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，角的对边分别为，已知，.（1）求；（2）求.【答案】（1）.（2）.解：（1），.，从而.（2），为锐角，.18. 设为数列的项和，数列满足，.（1）求即；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前项和.【答案】（1）,.（2）.【解析】试题分
10、析：（1）由，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）首先根据题意求出数列的周期，进一步利用裂项相消法求出数列的和试题解析：（1）当时，由于也满足，则，是首项为3，公差为2的等差数列，.（2），的前5项依次为1,3,5,7,9.，的前5项依次为3,5，7,9,1易知，数列与的周期均为5，的前20项和.19. 已知向量，函数，.（1）若，求；（2）求在上的值域；（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.【答案】(1)或.（2）.（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据模长公式即可求解的值；（2）根据函数，利用向量坐标的运算求解的解析式，化简，再求解内层
11、函数的范围，即可求解值域；（3）根据平移变换的规律请的解析式，可得的解析式，结合三角函数的性质即可判断是否关于直线对称.试题解析：(1)，又，或.（2），故在上的值域为.（3），的图象关于直线对称.20. 如图，在三棱锥中，平面，且.（1）若为上一点，且，证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由平面可得，又，所以平面，根据面面垂直的判定定理得平面平面。（2）在中，由余弦定理得，根据勾股定理可得AB=3，BC=1，PB=2，由平面可得，从而得到，故BD=1.过作，交于，则为三棱锥的高，且由三棱锥的体积公式可得。试题解析：（1）证明： 平面，
12、平面 .又，平面.平面， 平面平面. （2）解：在中，由余弦定理得, ，由条件得 解得 平面，平面，平面平面， ， . 过作，交于，则为三棱锥的高，则. ， .即三棱锥的体积为。21. 已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，求出函数的极值点，即可求出的值，再根据定积分的几何意义即可求出面积；（2）先求导，得到，分类讨论，判断函数的极小值，求出极小值，得到关于的不等式解得即可.试题解析：（1）令得，由题意可得，解得故，.（2），当时，无极值；当，
13、即时，令得；令得或在处取得极小值.当，即时，在上无极小值，故当时，在上有极小值，且极小值为即，又.点睛：本题考查的是利用导数研究函数的极值，求导后出现二次函数形式，一般的讨论方法有：先看二次项系数是否为0，然后看能否因式分解，能分解的话，直接比较两根的大小，不能分解就由判别式和图象结合判断导函数的正负.22. 已知函数，.（1）当，比较与的大小；（2）设，若函数在上的最小值为，求的值.【答案】（1） ；（2）.【解析】试题分析：（1）根据对数运算可得，再构造函数，研究函数最值，发现最大值小于0，即证得结果。（2）.求导研究函数最值，这个题目因为是开区间最值应该是在极值处取得，故得到，证得函数，无解，且，故最值只能在处取得。解：（1），构造函数，当时，在上单调递减.，故当时，即，即.（2）由题得，则，由得到，设，.当时，；当时，.从而在上递减，在上递增.当时，即（或，设，证明亦可得到）.在上，递减；在上，递增.，解得.点睛：这个题目考查了应用导数研究函数的最值和极值，第一问考查了比较大小的常用方法，构造函数和0比较。研究函数最值求参，可以解决的方法有：直接转化成函数最值；可以先变量分离再转为函数最值；也可以分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方。还有就是求完导后要有因式分解的意识，便于判断导函数的正负。
