1、专题二数列(文理)第1讲等差数列、等比数列JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查等差数列、等比数列性质的应用，考查等差数列、等比数列的判断与证明等2近三年高考考查数列多出现17(或18)题，试题难度中等，2021年高考可能以客观题考查，以基本运算为主，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷17(1)等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质5卷4、6等差数列前n项和有关的计算、利用等比数列求和求参数的值10卷1
2、7(1)求等差数列的通项公式52019卷9、10等差数列的基本运算、等比数列的判定10卷19等差(比)数列的证明及通项公式的求法12卷5、14等比数列、等差数列的基本运算102018卷4等差数列基本计算5卷17等差数列基本量的计算，和的最值问题10卷17等比数列基本量的计算10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷10等比数列基本量的计算5卷6等比数列的通项公式的基本量计算5卷17等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用102019卷14、18等比数列的基本运算；等差数列的通项公式及求和17卷18等比数列的通项公式等差数列的求和12卷6、14等比数列的基本运算；等差数列的基
3、本运算102018卷17数列的递推公式、等比数列的判定和计算12卷17等差数列的通项公式、前n项和公式及最值12卷17等比数列的通项公式、前n项和公式12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一等差、等比数列的基本运算1等差数列、等比数列的基本公式(nN*)等差数列的通项公式：ana1(n1)d；等比数列的通项公式：ana1qn1等差数列的求和公式：Snna1d；等比数列的求和公式：Sn2等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通
4、项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列典例1(1)(2020贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)已知Sn是等差数列an的前n项和，若，则(B)ABCD2(2)(2020名校联盟质量监测)记等比数列an的前n项和为Sn，若a1，S3，则a4(B)A或B或CD(3)(2020北京昌平区期末)各项均为正数的等比数列an中，a11，a2a36，则_9_.(4)(2020江苏省天一中学调研)已知数列an与均为等差数列(nN*)，且a12，则a10_20_.【解析】(1)设an的公差为d，由，得a1d0，故选B(2)设等比数列an的公比为q，依题意，S3a1a2a3qq2，解得q或q，则a
5、4a1q3或.故选B(3)设等比数列an的公比为q(q0)因为a11，a2a36，所以，解得q3(舍)，q2S663，S37，则9(4)设等差数列an的公差为d.又数列均为等差数列(nN*)，且a12，2，即d24d40解得d2则a1029220等差(比)数列基本运算的解题途径(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量1(1)(2020江苏省镇江中学调研)设等差数列an的前n项的和为Sn，若a35，且S1，S5，S7成等差数列，则数列an的通项公式an_2n1_.(2)(2020天水市第一中学期末)若
6、a、b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq的值等于_9_.【解析】(1)设等差数列an的公差为d.S1，S5，S7成等差数列，2S5S1S7，由已知得，解得，an5(n3)22n1(2)由题意可得abp，abq，p0，q0，a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得；解得，pab5，q144，pq9考点二等差(比)数列的性质等差数列、等比数列常用性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq.(2)anam(nm
7、)d.(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(4)前2n1项和S2n1(2n1)an.(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0).典例2(1)(2020北京房山区期末)等差数列an中，若a1a4a76，Sn为an的前n项和，则S7(C)A28B21C14D7(2)(2020北京市朝阳区抽样检测)已知等比数列an，满足log2a3log2a101，且a3a6a8a1116，则数列an的公比为(B)A4B2C2D4(3)(2020四川省成都七中模拟)已知等差数列an，且a48，则数列an
8、的前7项和S7_56_.(4)(2020江苏省苏州市五校月考)设公比不为1的等比数列an满足a1a2a31，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的前4项和为_.【解析】(1)等差数列an中，若a1a4a76，则3a46，a42则S77a414，故选C(2)等比数列an中，log2a3log2a101log2(a3a10)1a3a102，a3a6a8a1116(a3a11)216，由等比数列各项正负性的性质可知：a3，a11同号，故a3a114，除以，得：等比数列的公比q2，故选B(3)由等差数列的性质可得：a1a72a416数列an的前7项和S77856(4)由等比数列的性质可知a1a2a
9、3a1，a21，a2，a4，a3成等差数列，2a4a2a3,2a2q2a2a2q，2q2q10，解得：q1(舍)或q，a12，S4.1利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题2(1)(2020天一大联考)记等差数列an的前n项和为Sn，若a616，S535，则an的公差为(C)A3B2C3D2(2)等比数列an中，a4，a5，则数列lgan的前8项和S8为(B)A4B2C3D5(3)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，
10、所以a80又a7a10a8a90，所以a90所以当n8时，其前n项和最大考点三等差(比)数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)典例3(2020广州市调研测试)设Sn为数列an的前n项和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？【解析】(1
11、)证明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11，由an12(an11)2(n2)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an12n，an2n1，Snn2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，即n，an，Sn成等差数列(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列(2)证明数列an为等比数列时，不能仅仅证明an1qan，还要说明a10，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列an为等比数列(3)证明
12、等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式3(1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M数列”(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和，判断数列bn是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式【解析】(1)证明：设等比数列an的公比为q，则a10，q0由得解得因此数列an为“M数列”(2)因为，所以bn0由b11，S1b1，得，则b22由，得Sn.当n2时，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.又b2b11，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因
13、此，数列bn的通项公式为bnn(nN*)考点四等差、等比数列与其他知识的综合1数列的几个公式变形(1)等差数列的通项公式：ana1(n1)ddn(a1d)(看成关于n的一次函数)(2)等差数列的前n项和公式：Snna1n2n(关于n的二次函数)(3)等比数列的前n项和公式：Snqn(q1)2数列与其他知识的结合(1)数列与函数(2)数列与方程(3)数列与不等式(4)数列与平面向量典例4(1)(2019南京二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a2 020，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 020等于(B)A1 009B1 010C2 019D2 020(2)在由正数组成的
14、等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为(B)ABC1D(3)已知数列an满足nan2(n2)an(n22n)，其中a11，a22，若anan1对nN*恒成立，则实数的取值范围为_0，)_.【解析】(1)因为A，B，C三点共线，所以a1a2 0201，所以S2 0201 010(2)因为a3a4a53a，所以a43，即log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7).(3)由nan2(n2)an(n22n)，得，所以数列的奇数项和偶数项都是首项为1，且公差为的等
15、差数列因为a11，a22，所以当n为奇数时，1( 1)1，所以ann；当n为偶数时，1(1)1，所以ann.当n为奇数时，由anan1，得n2，若n1，则R.若n1，则，所以0当n为偶数时，由anan1，得n2，所以，即0综上，的取值范围为0，)数列与其他知识的交汇问题的处理思路(1)以数列知识为纽带，在与函数、方程、向量不等式的交汇处命题，利用函数观点、方程思想、向量的性质、不等式的性质等，作为解题口解决问题(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解4(1)正项等比数列an中，a28,16aa1
16、a5，则数列an的前n项积Tn中的最大值为(A)AT3BT4CT5DT6(2)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_50_.(3)等比数列an的首项为2，公比为3，前n项和为Sn.若log39，则取最小值时，Sn_8_.【解析】(1)设正项等比数列an的公比为q(q0)，则16aa1a5a2a48a4，a4，q2，又q0，则q，ana2qn28()n2272n，则Tna1a2an253(72n)2n(6n)，当n3时，n(6n)取得最大值9，此时Tn最大，即(Tn)maxT3(2)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a
17、10a11e5所以lna1lna2ln a20ln (a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln (a10a11)1010ln (a10a11)10ln e550ln e50(3)由题意可得an23n1，Sn3n1，所以log3an(S4m1)log33n4m1n4m19，所以n4m10，所以()()2，当且仅当mn2时取等号，所以n2，因为a2236，所以S2268YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1忽视数列首项的重要性致误典例1已知数列an的前n项之和为Snn2n1，则数列an的通项公式为_an _【错解】an2n【剖析】若an
18、2n，则a12，事实上a1S13【正解】当n1时，a1S13；当n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n，an 【易错防范】本题的失分原因是没有注意到anSnSn1是在n2的条件下才能成立这是由于对数列概念理解不透彻所致在解关于由Sn求an的题目时，按两步进行讨论，可避免出错当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1检验a1是否适合由求得的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数2忽视对等比数列中公比的分类讨论致误典例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_1或1_.【错解】1【剖析】当q1时，符合要求很多考生在做本题时都想当然地认为q1【正解】当q1时
19、，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0q1，q310，q61，q13忽视公比q的取值范围典例3(2020江西九江10月模拟)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且7S24S4，则等比数列an的公比q的值为(C)A1B1或CD【错解】因为7S24S4，所以3(a1a2)4(S4S2)4(a3a4)，所以3(a1a2)4(a1a2)q2又因为a1a20，所以q2，所以q，故选D【剖析】上述的解法主要是忽略了正项等比数列an的前n项和为Sn中含有q0，而导致q2时，得到了q，而出现了选错【正解】因为7S24S4，所以3(a1a2)4(S4S2)4(a3a4)，所以3(a1a2)4(a1a2)q2因为a1a20，所以q2，因为an为正项等比数列，所以q0，所以q.故选C
