1、命题及其关系、充分条件与必要条件1了解命题的概念2了解四种命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系 知识梳理1命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论(3)否命题：“若p，则q”，即同时否定原命题的条件和结论(4)逆否命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加
2、以否定3四种命题的关系4四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的 必要条件(2)如果pq，但q p，则p是q的 充分必要条件(3)如果pq，且qp，则称p是q的 充要条件(4)如果qp，且p q，则p是q的 必要不充分条件(5)如果p q，但q p，则p是q的既不充分也不必要条件1若p是q的充分不必要条件，则p是q的 必要不充分条件2若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集
3、合分别为P，Q，一般地有，若PQ，则p是q的 充分条件；若QP，则p是q的 必要条件；若PQ，则p是q的 充分不必要条件；若PQ，则p是q的 必要不充分条件；若PQ，则p是q的 充要条件 热身练习1下列语句中，不能构成命题的是(C)A512 B若，则xyCx0 D若xy，则x20无法判断真假，因此不能构成命题2设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是(D)A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0 根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没
4、有实根，则m0”故选D.3已知命题p：若x1，则向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A0 B2C3 D4 原命题：若x1，向量a(1，1)，b(1，1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真逆命题为：若向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则x1.当a与b共线时，x(x2)x，解得x0或1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题故真命题的个数为2.4(2016四川卷)设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 因为所
5、以xy2，即pq.而当x0，y3时，有xy32，但不满足x1且y1，即qp.故p是q的充分不必要条件5设p：x3，q：1x3，则p是q成立的(C)A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件 四种命题及其真假判断原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假 “若z1，z2互
6、为共轭复数，则|z1|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题故选B. B (1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假1在下列4个结论中：命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”；命题“若m2n20，则m，n全为0”的否命题是“
7、若m2n20，则m，n全不为0”；命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题为真命题；“若x1，则x21”的否命题为真命题其中正确结论的序号是. 正确不正确，否命题为“若m2n20，则m，n不全为0”m0时，14m0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题逆命题“若x21，则x1”为假命题，所以否命题为假命题故正确结论的序号为. 充要条件的判断(1)(2017天津卷)设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分
8、必要条件 D既不充分也不必要条件 (1)(方法一)因为2x0 x2.因为|x1|11x110x2.因为x2 0x2，而0x2x2，所以“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(方法二)记“2x0”与“|x1|1”表示的集合分别为A，B.则Ax|x2，Bx|0x2因为BA，所以“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(2)xycos xcos y，而cos xcos y xy，利用四种命题的等价关系得：cos xcos yxy，xy cos xcos y.所以“xy”是“cos xcos y”必要而不充分条件 (1)B(2)B (1)判断充要条件的方法：定义法(这是基本方法)；集合法(根
9、据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；转换法(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性这种方法特别适合以否定形式给出的命题2(1)“x0”是“ln(x1)0”的(B)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a0”是“ab0”的(B)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (1)ln(x1)00x111x0，x0 1x0，1x0
10、x0，所以“x0”是“ln(x1)0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_ p对应的集合为Ax|2x10，q对应的集合为Bx|1mx1m，因为p是q 的必要不充分条件，所以qp但pq 由互为逆否的两个命题的等价关系可知，pq，但qp，所以AB.所以解得m9.检验m9时，满足AB.因此，实数m的取值范围是9，) 9，) (1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：首先要将p，q等价化简；将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围(2)解此类问题要注意：注意命题等价转化，如将p
11、与q的关系转化为p与q的关系；注意区间端点值的检验3已知p：2xm0，若p是q的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为2，). 因为q：x2x20，所以x2，记Ax|x2又因为p：2xm0，所以x，记Bx|x，因为p是q的充分不必要条件，所以BA.所以1，解得m2.所以实数m的取值范围是2，)1判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题2一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行3判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A是B的什么条件，实际上就是判断AB或BA是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断
