1、1.3.3函数的最大(小)值与导数课时演练促提升A组1.函数f(x)=x3-2x2在区间-1,5上()A.有最大值0,无最小值B.有最大值0,最小值-C.有最小值-,无最大值D.既无最大值也无最小值解析:f(x)=x2-4x=x(x-4).令f(x)=0,得x=0或x=4,f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-.答案:B2.函数y=xe-x,x0,4的最大值是()A.0B.C.D.解析:y=e-x-xe-x=e-x(1-x),令y=0,x=1,f(0)=0,f(4)=,f(1) =e-1=,f (1)为最大值.答案:
2、B3.函数f(x)=x2x,则下列结论正确的是()A.当x=时,f(x)取最大值B.当x=时,f(x)取最小值C.当x=-时,f(x)取最大值D.当x=-时,f(x)取最小值解析:f(x)=2x+x(2x)=2x+x2xln 2.令f(x)=0,得x=-.当x时,f(x)0,故函数在x=-处取极小值,也是最小值.答案:D4.对于R上可导的任意函数f(x),若满足x1时(x-1)f(x)0,则必有()A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)1时,f(x)0,函数f(x)在(1,+)上是增函数;当x1时,f(x)f(1),f(2)f(1),得f(0)+f(2)2f(1).答案:A5.
3、若对任意的x0,恒有ln xpx-1(p0),则p的取值范围是()A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)解析:原不等式可化为ln x-px+10,令f(x)=ln x-px+1,故只需f(x)max0,由f(x)=-p知f(x)在上单调递增;在上单调递减.故f(x)max=f=-ln p,即-ln p0,解得p1.答案:D6.函数f(x)=ex(x2-4x+3)在0,1上的最小值是.解析:f(x)=ex(x2-4x+3)+ex(2x-4)=ex(x2-2x-1)=ex(x-1)2-2,当x0,1时,f(x)0,f(x)在0,1上是减函数,f(x)min=f(1)=0.答案:07.
4、已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-,ln 2)上递增,在(ln 2,+)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-,2ln 2-2,所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a2ln 2-2即可.答案:(-,2ln 2-28.试求函数y=4x2+在(0,+)上的最值.解:y=8x-,令y=0,解得x=.当x变化时,y,y的变化情况如下表:x0xy-0+y极小值所以由上表可知,函数在x=处取
5、得最小值,最小值为3,无最大值.9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x-1,2,不等式f(x)0,得x1,令f(x)0,得-x1.函数f(x)的递增区间是和(1,+),递减区间是.(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x-1,2,由(1)知,当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,得c2.c的取值范围为(-,-1)(2,+).B组1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为
6、()A.1B.C.D.解析:|MN|的最小值,即函数h(t)=t2-ln t的最小值,h(t)=2t-,显然t=是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.答案:D2.已知函数f(x)=+2ln x,若当a0时,f(x)2恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由f(x)=+2ln x得f(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+),且a0,令f(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0x时,f(x)时,f(x)0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)2恒成立,需ln a+12恒成立,则ae.答案:e,+)3.函数f(x)=x3-3a
7、x-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.解析:f(x)=3(x2-a),f(x)在(0,1)内有最小值,f(0)0.0a1.答案:0a0,f(x)递增,当x(e2,+)时,f(x)0),f(x)=x-,由f(x)=0,得x=1,可得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故f(x)的最小值f(x)min=f(1)=0,所以f(x)没有零点.(2)解:f(x)=ax-.若a0,令f(x)0,则x,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在(0,+)上的最小值为fln a,要使f(x)恒成立,只需ln a,得a1.若a0,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)单调递减,f(1)=0,故不可能f(x)恒成立.综上所述,a1.7.设函数f(x)=2ax-+ln x,若f(x)在x=1,x=处取得极值,(1)求a,b的值;(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c0成立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=2ax-+ln x,f(x)=2a+.f(x)在x=1,x=处取得极值,f(1)=0,f=0.即解得所求a,b的值分别为-,-.(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c0成立,只需cf(x)min,由f(x)=-=-=-,当x时,f(x)0,f(x)是增函数;f是f(x)在上的最小值.而f+ln-ln 2,c-ln 2.c的取值范围为.
