1、第7章 第8讲一、选择题1(2009全国，5)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C2(2009浙江，5)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45C60 D90答案C3点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，PDAD，则PA与BD所成角的度数为()A30B45C60D90解析将其补成正方体，如右图PA与BD成60角，故选C.答案C4(2009全国，10)已知二面角l为60，动点P、
2、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为()A. B2C2 D4答案C5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于()A30 B45C60 D90解析如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，M(0,1，)，Q(，0)，P(x,0,1)(0,1，)，(x，1)0(x)1(1)0，.答案D6(2007深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e(A，B，C)的平面的方程是：A(xx0
3、)B(yy0)C(zz0)0”现在我们给出平面的方程是xyz1，平面的方程是1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是()A. B.C. D.答案A二、填空题7(2009四川，15)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_答案908已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_解析如图，在正四棱锥SABCD中，底面对角线BD2，则边长BC2.作SO底面ABCD，作OECD，连SE，则SEO就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V(2)2SO12，得SO3.则在RtSEO中，tanSEO，SE
4、O，即侧面与底面所成的二面角等于.答案9如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_解析不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D(，2)(，2)，(，1,2)设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)由解得n(，1,1)又(，2)sin1，cos.答案10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为_解析解法一：A1B1平面D1EF，
5、G到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离在A1D1E中，过A1作A1HD1E交D1E于H，显然A1H平面D1EF，则A1H即为所求，在RtA1D1E中，A1H.解法二：等体积法，设h为G到平面D1EF的距离VGD1EFVA1D1EFVFD1A1E，1h11，h.答案三、解答题11(2009全国，18)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.(1)证明：ABAC；(2)设二面角ABDC为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小(1)证明以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz.设AB1，则B(1,0
6、,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)，E(，c)于是(，0)，(1，b,0)由DE平面BCC1知DEBC，即0，求得b1.所以ABAC.(2)解设平面BCD的法向量(x，y，z)，则0，0.又(1,1,0)，(1,0，c)，故令x1，则y1，z，(1,1，)又平面ABD的法向量(0,1,0)，由二面角ABDC为60知，60，故|cos60，求得c.于是(1,1，)，(1，1，)，cos，60.B1C与平面BCD所成的角为30.12(2008广东理)如图所示，等腰三角形ABC的底边AB6，高CD3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿E
7、F将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值解(1)EFAB，EFPE.又PEAE，EFAEE，且PE在平面ACFE外，PE平面ACFE.EFAB，CDAB，EFCD.EFx.四边形ACFE的面积S四边形ACFESABCSBEF63x29x2.四棱锥PACFE的体积VPACFES四边形ACFEPE3xx3，即V(x)3xx3(0x3)(2)由(1)知V(x)3x2.令V(x)0x6.当0x6时，V(x)0，当6x3时，V(x
8、)0，当BEx6时，V(x)有最大值，最大值为V(6)12.(3)解法一：如图，以点E为坐标原点，向量、分别为x、y、z轴的正向建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，P(0,0,6)，F(0，0)，A(66,0,0)，C(36,3,0)于是(3，3,0)，(0，6)AC与PF所成角的余弦值为cos .异面直线AC与PF所成角的余弦值为.解法二：过点F作FGAC交AE于点G，连接PG，则PFG为异面直线AC与PF所成的角ABC是等腰三角形，GBF也是等腰三角形于是FGBFPF，从而PG6.在GPF中，根据余弦定理得cosPFG.故异面直线AC与PF所成角的余弦值为.亲爱的同学请写上你的学习心得 .w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
