1、立体几何的综合应用1(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由 (1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCO
2、P.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.2(2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积 (1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，
3、F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.3(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
4、ABCD，ABBCAD, BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积 (1)在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以
5、PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.4(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比 (1)如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.BODOO，从而AC平面DOB，BD平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，所以ACAB，又ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.
