1、广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一数学下学期第一次在线考试试题（含解析）第一部分选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的个数为（ ）零向量没有方向；向量的模一定是正数；与非零向量共线的单位向量不唯一A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】零向量方向是任意的；向量的模一定是非负数；与非零向量共线的单位向量有两个.【详解】零向量的方向是任意的，故错；向量的模是非负数，故错；与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故正确.故选：B.【点睛】本题考查与向量有关的概念，考查学生
2、对概念的理解与辨析，是一道基础题.2. 为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A. 1000名运动员是总体B. 每个运动员是个体C. 抽取的100名运动员是样本D. 样本容量是100【答案】D【解析】试题分析：根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断解：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况：总体是1000名运动员的年龄；个体是每个运动员的年龄；样本是100名运动员的年龄；因此应选D故选D点评：本题主要考查对统计中的基本概念的理解，也容易出错的，是基础题目3.已知是虚数单位，若复数满足，则（ ）A. B. C.
3、 D. 【答案】B【解析】【分析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】，故.故选：B.【点睛】本题考查向量的除法运算以及共轭复数的概念，是一道基础题.4.已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】与非零向量同向的单位向量是.【详解】由已知，故与向量同向的单位向量是.故选：A.【点睛】本题考查与平面向量有关的概念问题，是一道基础题.5.在ABC中，已知a9，b，C=150 , 则c等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理直接求解即可.【详解】在中，已知 则由余弦定理可得得： 则故选D【点睛】本题考查余弦定理，以
4、及特殊角三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为则（ ）A. B. C. D. ，没有关系【答案】B【解析】【分析】根据简单随机抽样、分层抽样定义即可得到结论【详解】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样、分层抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，是一道容易题.7.某工厂对一批元件进行抽样检
5、测.经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是（ ）A. 80%B. 90%C. 20%D. 85.5%【答案】A【解析】【分析】计算区间小矩形的面积，求得样本的合格率，从而估计总体.【详解】由频率分布直方图可知元件长度在内的频率为：，故这批元件的合格率约为80%.故选：A.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查样本估计总体思想，属于基础题.8.若且，则四边形的形状为（ ）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形【答案】D
6、【解析】【分析】利用相等向量的定义即可.【详解】由，知且，故四边形为梯形，又，所以四边形是等腰梯形.故选：D.【点睛】本题考查相等向量的定义，考查学生对基本概念的理解，是一道容易题.9.设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将，代入已知即可.【详解】因为，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到平面向量的线性运算，是一道基础题.10.总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取容量为6的样本，选取方法是从随机数表第1行的第5列开始，依次向右读取一行结束后，转至下一行从第一列开始，直到取足样本，则选出
7、来的第6个样本的编号为（ ）32 04 34 12 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 8178 07 65 72 06 02 63 14 07 64 43 01 69 97 28 98A. 02B. 07C. 14D. 01【答案】D【解析】【分析】在读取数据时，编号07出现了两次，只记录一次.【详解】依次读取的编号为12，07，06，02，14，01.故选：D【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在读取数据时，要注意前面出现过的要跳过，本题是一道容易题.11.在四边形中，则该四边形的面积为（ ）A. 5B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】由已
8、知，易得，所以四边形的面积为，只需求得即可.【详解】因为，所以，又，故四边形的面积为.故选：A.【点睛】本题考查求四边形面积，涉及到向量的模以及向量数量积的坐标运算，是一道基础题.12.已知的内角所对的边分别为，的面积为，且，则其周长为（ ）A. 10B. 9C. 12D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，结合，得，又，所以，故是等边三角形，即可得到周长.【详解】由已知及余弦定理，得，即，故，又，所以；又，所以，结合，所以，故是等边三角形，所以其周长.故选：B.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，涉及到边角互化、三角形面积公式的选取，是一道中档题.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题
9、共4小题，每小题5分，共20分）13.已知下列抽取样本的方式：从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性；盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验其中，不是简单随机抽样的是_（填序号）【答案】【解析】【分析】简单随机抽样需满足：（1）总体个数是有限的；（2）是逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.【详解】不是简单随机抽样，因为被抽取的总体的个体数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样，因为它是放回抽样；不是简
10、单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；是简单随机抽样.故答案为：【点睛】本题考查简单随机抽样的原理，考查学生对随机抽样的理解，是一道容易题.14.平面向量满足，则_【答案】【解析】【分析】，展开即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查向量模的计算，考查学生基本计算能力，是一道基础题.15.如图，太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛到公路的距离是_【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理得到，小岛到公路的距离为，代入数据计算即可.【详解】由已知，在中，由正弦定理，得，即，所以，设小岛
11、到公路的距离为，则.故答案为：【点睛】本题考查解三角形中的测量距离问题，涉及到正弦定理解三角形，是一道容易题.16.若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为_【答案】【解析】【分析】设，由，知点在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，表示点与点的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设，由可得，此式表示复平面上的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，此式表示点与点的距离，故.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.若复数满足（为虚数单位），复数
12、的虚部为2，且是实数，求【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法运算得到，再设，利用是实数得到a.【详解】由已知，设，则，因是实数，所以，即，所以.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.18.在中，已知，求的值【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得到答案.【详解】由已知，由正弦定理，得，即，解得，.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.19.（1）向量与的夹角为且，求：；（2）已知，若为与的夹角，求的值；【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用数量积的定义及数量积的线性运算律即可；（2）先算出与的坐标，再利
13、用公式计算即可.【详解】（1）由数量积定义，得；.（2）由已知，所以，又，故【点睛】本题考查向量数量积、夹角的计算，考查学生的基本的计算能力，是一道容易题.20.从红岭中学高一年级的理科素质考试中，随机抽取70名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图；（1）请补全频率分布直方图并估计该校高一学生本次考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在，中共抽取26人，则，各抽取多少人？【答案】（1）见解析，67；（2）16，6，4【解析】【分析】（1）各小矩形的面积和为1可得第二小矩形的高，平均数的估计值为各小矩形组中值与面积乘积的和；（2）利用分层抽样抽取样本的计算公式计算即可.【详解】（1）设第
14、二小矩形的高为a，则，解得平均分估计值为.（2）因为的频率为0.4，的频率为0.15，的频率为0.1，所以中抽取的人数为，中抽取的人数为，中抽取的人数为故在，中各抽取16，6，4人.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到补全直方图、平均数的估计值、分层抽样等知识，是一道容易题.21.在以为坐标原点平面直角坐标系中，.（1）若，且，求点的坐标；（2）若，当且取最大值为4时，求【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由可得，解方程组即可；（2）由可得，所以，故有，.【详解】（1）由已知，因为，所以，又，所以，由，解得或，故点的坐标为或.（2）由已知，因为，故有，所以，因为，所以，故当时，取最大值，解得，所以E的坐标为，【点睛】本题考查与向量坐标有关的计算，考查学生的计算能力，是一道中档题.22.在中，所对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若且为锐角三角形，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用余弦定理即可解决；（2）由正弦定理得，所以，注意到，再利用正弦型函数的值域求法即可解决.【详解】（1）由已知及正弦定理，得，即，所以，又，故.（2）由正弦定理，得，所以，故，又为锐角三角形，所以，解得，所以，故的取值范围为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到边角互化、正弦型函数的值域问题，是一道中档题.
