1、广西陆川县中学2018年春季期高三3月月考文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知集合A=-1,-2,0,1，B=x|ex1，则集合C=AB的元素的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】因为集合C=AB=-1,-2，所以其元素的个数为2，故选B.2. 设复数，则（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】,故选C.3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】,故公差.故选B.4. 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由
2、四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.5. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得,故是递增数列,反之也成立,所以为充要条件.选C.6. 已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）A.
3、 B. C. D. 【答案】D【解析】设,代入抛物线得,两式相减得,即,即直线的斜率为,由点斜式得,化简得,故选D.7. 已知函数，不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故,所以,故选A.8. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.9. 执行如
4、图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（ ）A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 9【答案】B【解析】,判断是,判断是,判断是, ,判断否,输出,故选B.10. 在中，边上的中线的长为2，则（ ）A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】C【解析】,故选C.11. 已知双曲线：的两条渐近线是，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是A. B. 1 C. D. 3【答案】A【解析】双曲线的两条渐近线方程分别为，设为双曲线C上一点，则，即，点M 到两条渐近线距离之积为为常数，所以当点M到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是，选A.点睛：本题主要考查双曲
5、线的简单几何性质，涉及的知识点有点到直线距离公式、双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为定值等，属于中档题。12. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D 【方法点睛】本题主要考查函数的零点、反函数的性质，函数零点问题主要有以下思路：(1)直接法，函数图象与横轴的交点横坐标；(2)转化为方程解的问题；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点问题，二是转化为的交点问题 .二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分； 13. 已知实数x，y满足的最小值为_【答案】5【解析】作
6、出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=-x+ 平移此直线，由图象可知当直线y=-x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（1，2），所以z=x+2y的最小值为5故答案为514. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若的面积为_【答案】【解析】因为 所以因此. 15. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率_【答案】【解析】因为双曲线的两条渐近线为 ，抛物线的准线为 ，所以 ，因此 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关
7、于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 若函数满足：对于图象上任意一点P，在其图象上总存在点，使得成立，称函数是“特殊对点函数”给出下列五个函数：；(其中e为自然对数的底数)；其中是“特殊对点函数”的序号是_(写出所有正确的序号)【答案】【解析】设 由得， 或 ;，所以不是“特殊对点函数”；由图知,对于任意一点P，在其图象上总存在点，使得，所以是“特殊对点函数”；对于 ；所以不是“特殊对点函数”；由图知,对于任意一点P，在其图象上总存在点，使得，所以是“特殊对点函数”；由图知,对于任意一点P，在其图象上总存在点，使得，所以是“特殊对点函数”；综上“特殊对点
8、函数”的序号是点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 记为数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前n项和。试题解析：（1）由，得
9、当时，；当时， .所以.（2） ，所以 .18. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CDAB, ABBC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1平面ABCD.且点M是AB1的中点(1)证明:CM平面ADD1A1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离. 【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据题意得到四边形AECD为平行四边形，CEAD，CE平面,进而得到面面平行，再得到线面平行;(2)根据等体积法得到，列式求得.解析：（1）取AB的中点E，连结CE、ME.M为AB1的中点 MEBB1AA1 又AA1平面ADD1A1 ME平面ADD1A1 又ABCD，CD= AB AE平行且等
10、于CD 四边形AECD为平行四边形 CEAD又AD平面ADD1A1 CE平面ADD1A1又MECE=E 平面CME平面ADD1A1 又CM平面CME CM平面ADD1A1 （2）由（1）可知CM平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则. 在梯形ABCD中，可计算得AD= ， 则 = ，得，即点M到平面ADD1A1的距离19. 某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:打算观看不打算观看女生2
11、0b男生c25（1）求出表中数据b，c;（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.P(K2k0)0.100.050.0250.010.005K02.7063.8415.0246.6357.879附：【答案】（1）b=30,c=50（2）有99%的把握,
12、(3)【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得到参数值；（2）根据公式计算得到，再下结论；（3）根据古典概型的计算公式，列出事件的所有可能性，再得到4男一女的事件数目，做商即可.解析：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)， c=75-25=50(人) （2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关. （3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有A,BA,CA,DA,EA,aA,bB,CB,DB,EB
13、,aB,bC,DC,EC,aC,bD,ED,aD,bE,aE,ba,b，共21种， 其中恰为一男一女的包括，A,aA,bB,aB,bC,aC,bD,aD,bE,aE,b,共10种. 因此所求概率为20. 已知分别是椭圆C:的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C交于A、B两点，过点且平行直线的直线交椭圆C于另一点N，若四边形MNBA为平行四边形，试问直线是否存在？若存在，请求出的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）直线不存在.【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上以及题目中的条件得到，进而得到椭圆方程；（
14、2）因为四边形MNBA为平行四边形，所以|AB|=|MN|，联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式可得到方程，进而解得参数值.解析：（1）由的焦点为（1,0）可知椭圆C的焦点为 又点在椭圆上，得， 椭圆C的标准方程为 （2）由题意可设直线的方程为，由得，所以. 所以|AB|=.又可设直线MN的方程为，由得，因为，所以可得。|MN|=. 因为四边形MNBA为平行四边形，所以|AB|=|MN|.即， 但是，直线的方程过点，即直线AB与直线MN重合，不合题意，所以直线不存在.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥
15、曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数（1）令，试讨论的单调性；（2）若对恒成立,求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，对函数求导，研究导函数的正负得到单调性即可；（2）由条件可知对恒成立，变量分离，令，求这个函数的最值即可.解析：（1）由得 当时，恒成立，则单调递减； 当时，令，令. 综上：当时， 单调递减，无增区间；当时， （2）由条件可知对恒成立，则当时，对恒成立当时，由得.令则,因为,所
16、以,即所以,从而可知. 综上所述: 所求.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .22. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，再根据化为极坐
17、标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，再根据求的值试题解析：解:（1）将方程消去参数得，曲线的普通方程为，将代入上式可得，曲线的极坐标方程为： - （2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，23. 选修45：不等式选讲已知函数(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式求的最小值，再解绝对值不等式可得a的取值范围试题解析：解：（1）当时，不等式为，若，则，即，若，则，舍去，若，则，即，综上，不等式的解集为. （2）因为，得到的最小值为，所以，所以.
